ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите модуль вектора \(\vec{c} = -6\vec{a} — 7\vec{b}\), если \(\vec{a} (-1; 1; 1)\), \(\vec{b} (2; 2; -2)\).

Дан вектор \( \vec{c} = -6\vec{a} — 7\vec{b} \), где \( \vec{a} = (-1; 1; 1) \), \( \vec{b} = (2; 2; -2) \).

Вычислим координаты \( \vec{c} \):

\(
\vec{c} = -6(-1; 1; 1) — 7(2; 2; -2) = (6; -6; -6) + (-14; -14; 14) =\)
\(= (6 — 14; -6 — 14; -6 + 14) = (-8; -20; 8)
\)

Найдем модуль вектора \( \vec{c} \):

\[
|\vec{c}| = \sqrt{(-8)^2 + (-20)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 400 + 64} = \sqrt{528}
\]

1. Дано выражение для вектора \( \vec{c} = -6\vec{a} — 7\vec{b} \), где векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) заданы координатами: \( \vec{a} = (-1; 1; 1) \) и \( \vec{b} = (2; 2; -2) \). Чтобы найти вектор \( \vec{c} \), сначала нужно умножить каждый вектор на соответствующий скаляр. Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число. Для вектора \( \vec{a} \) это будет: \( -6 \times (-1) = 6 \), \( -6 \times 1 = -6 \), \( -6 \times 1 = -6 \). Аналогично для вектора \( \vec{b} \): \( -7 \times 2 = -14 \), \( -7 \times 2 = -14 \), \( -7 \times (-2) = 14 \).

2. После умножения координат векторов на скаляры нужно сложить полученные векторы по координатам. Сложение векторов происходит покоординатно, то есть складываем первые координаты, вторые и третьи отдельно. Для первой координаты: \( 6 + (-14) = -8 \), для второй: \( -6 + (-14) = -20 \), для третьей: \( -6 + 14 = 8 \). Таким образом, координаты вектора \( \vec{c} \) равны \( (-8; -20; 8) \).

3. Следующий шаг — найти модуль (длину) вектора \( \vec{c} \). Модуль вектора с координатами \( (x; y; z) \) вычисляется по формуле \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Подставим наши значения: \( \sqrt{(-8)^2 + (-20)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 400 + 64} \). Сложив числа под корнем, получаем \( \sqrt{528} \). Это и есть модуль вектора \( \vec{c} \), который показывает его длину в пространстве.