ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(N\) и \(M\) — середины отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно. Докажите равенство \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{CB})\).

Точки \(N\) и \(M\) — середины отрезков \(AB\) и \(CD\), значит \( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \).

Вектор \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} — \overrightarrow{OM} \). Выберем точку \(D\) как начало отсчёта, тогда \( \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} \) и \( \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM} \).

Подставляем:
\( \overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) — \left( \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \right) \).

Так как \( \overrightarrow{CD} = — \overrightarrow{DC} \), то \( \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \). Упрощаем:

\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC} — \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}=\)
\( = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \).

Используя \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{AD} = — \overrightarrow{DA} \), получаем:
\( \overrightarrow{AB} = — \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} \).

Подставляем в выражение для \( \overrightarrow{MN} \):

\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} (- \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}) — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \).

Раскрываем скобки:

\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DA} — \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \).

Складываем подобные:

\( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}) \).

Таким образом, доказано, что \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}) \).

Рассмотрим задачу доказательства равенства для точек \(N\) и \(M\), являющихся серединами отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно. Нужно доказать, что вектор \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}) \).

Для начала обозначим векторы, чтобы было проще работать. Пусть \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) — отрезки, серединами которых являются точки \(N\) и \(M\). Тогда, по определению середины отрезка, вектор, идущий от начала отрезка до середины, равен половине вектора всего отрезка. То есть:

\( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \),
\( \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \).

Теперь выразим вектор \( \overrightarrow{MN} \) через известные векторы. Вектор \( \overrightarrow{MN} \) можно записать как разность:

\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} — \overrightarrow{OM} \),

где \(O\) — произвольная точка отсчёта (например, точка \(D\) или \(C\)).

Выберем точку \(D\) как начало отсчёта. Тогда:

\( \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \),

а

\( \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \).

Подставим это в выражение для \( \overrightarrow{MN} \):

\[
\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}.
\]

Далее упростим выражение, используя свойства векторов. Заметим, что:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB},
\]

и учитывая, что \( \overrightarrow{AD} = — \overrightarrow{DA} \), можно переписать:

\[
\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}.
\]

Подставим это в выражение для \( \overrightarrow{MN} \):

\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \left( -\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} \right) — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}.
\]

Раскроем скобки:

\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DA} — \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}.
\]

Сложим подобные слагаемые:

\[
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB}.
\]

Таким образом, мы получили требуемое равенство:

\[
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}).
\]

Это доказывает, что вектор, соединяющий середины отрезков \(AB\) и \(CD\), равен половине суммы векторов \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{CB} \).

Геометрически это означает, что отрезок \(MN\) является средней линией в трапеции \(ABCD\), если рассматривать фигуру с вершинами \(A, B, C, D\). Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям, при этом её длина равна половине суммы оснований. Векторное доказательство подтверждает это свойство через векторные операции.