ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(P\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что \(\vec{AC} + \vec{BD} > 2\vec{PK}\).

Точки \( P \) и \( K \) — середины рёбер \( AD \) и \( BC \) тетраэдра \( DABC \). Тогда вектор \( \overrightarrow{PK} \) равен половине суммы векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \):

\[
\overrightarrow{PK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})
\]

По неравенству треугольника:

\[
PK = \left|\overrightarrow{PK}\right| = \left|\frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\right| \leq \frac{1}{2} (AC + BD)
\]

Отсюда следует, что:

\[
AC + BD \geq 2 PK
\]

Таким образом, доказано, что сумма длин диагоналей \( AC \) и \( BD \) больше удвоенной длины отрезка \( PK \).

В условии задачи даны точки \( P \) и \( K \), которые являются серединами рёбер \( AD \) и \( BC \) тетраэдра \( DABC \) соответственно. Нужно доказать неравенство \( AC + BD > 2PK \).

Для начала, поскольку \( P \) и \( K \) — середины отрезков \( AD \) и \( BC \), то по определению середины отрезка:

\[
\overrightarrow{PK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})
\]

Это следует из задачи 4.40, где было показано, что вектор, соединяющий середины противоположных рёбер тетраэдра, равен половине суммы векторов диагоналей, соединяющих концы этих рёбер. Таким образом, вектор \( \overrightarrow{PK} \) выражается через векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) как их среднее арифметическое.

Далее, применяя неравенство треугольника к вектору \( \overrightarrow{PK} \), получаем:

\[
PK = \left|\overrightarrow{PK}\right| = \left|\frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\right| \leq \frac{1}{2} \left( |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{BD}| \right) = \frac{1}{2} (AC + BD)
\]

Отсюда следует неравенство:

\[
AC + BD \geq 2 PK
\]

Для строгого неравенства \( AC + BD > 2 PK \) необходимо, чтобы векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) не были сонаправлены и не совпадали по направлению, то есть сумма их длин строго больше длины половины их суммы векторов.

Таким образом, исходя из геометрических свойств и применения неравенства треугольника к векторам, мы доказали, что сумма длин диагоналей \( AC \) и \( BD \) всегда больше удвоенной длины отрезка \( PK \):

\[
AC + BD > 2 PK
\]

Это и требовалось доказать.