ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны параллелограммы \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Докажите, что середины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) лежат на одной прямой или являются вершинами параллелограмма.

Даны параллелограммы \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\).

Пусть \(M, N, P, Q\) — середины отрезков \(AA_1, BB_1, CC_1, DD_1\) соответственно.

Тогда по задаче 4.40 точки \(M, N, P, Q\) либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами параллелограмма.

Это следует из того, что средние линии параллелограмма образуют либо прямую, либо параллелограмм.

Даны два параллелограмма \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Рассмотрим отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\). Обозначим их середины как точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) соответственно. Необходимо доказать, что точки \(M, N, P, Q\) либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами параллелограмма.

Для этого вспомним, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поскольку \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограммы, векторы, соответствующие сторонам, подчиняются равенствам: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{D_1C_1}\), а также \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{A_1D_1}\). Это позволяет рассмотреть векторы от середины одной пары точек к середине другой.

Середина отрезка \(AA_1\) — точка \(M\), её координаты можно представить как \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A_1})\). Аналогично для точек \(N, P, Q\). Тогда вектор \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{A_1})\), и так далее. Из этого следует, что векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\) равны и параллельны, как и векторы \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{MQ}\). Следовательно, точки \(M, N, P, Q\) либо лежат на одной прямой (если векторы коллинеарны), либо образуют параллелограмм (если векторы не коллинеарны).

Таким образом, мы доказали, что середины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами параллелограмма. Это утверждение является прямым следствием свойств векторов в параллелограммах и средней линии в геометрии.