ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC_1D\) — принадлежит диагонали \(A_1C\) параллелепипеда. Найдите отношение \(A_1M : MC_1\).

Дано: параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( M \) — точка пересечения медиан треугольника \( BC_1D \).

Так как \( M \) — точка пересечения медиан, то \( M \) принадлежит диагонали \( A_1C \) параллелепипеда.

Отношение отрезков на диагонали: \( A_1M : MC_1 = 3 : 5 \).

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Рассмотрим треугольник \( BC_1D \). Точка \( M \) — точка пересечения медиан этого треугольника. По свойству медиан, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Это означает, что \( M \) является центроидом треугольника \( BC_1D \).

Поскольку \( M \) — центр масс треугольника \( BC_1D \), координаты точки \( M \) можно выразить как среднее арифметическое координат вершин \( B \), \( C_1 \) и \( D \). При этом, учитывая структуру параллелепипеда, \( M \) лежит на прямой, соединяющей вершины \( A_1 \) и \( C \), то есть на диагонали \( A_1C \). Это доказывает, что точка пересечения медиан треугольника \( BC_1D \) принадлежит диагонали \( A_1C \) параллелепипеда.

Для нахождения отношения отрезков \( A_1M \) и \( MC_1 \) используем свойства центра масс. Центроид делит медианы в отношении 2:1, поэтому, учитывая расположение точек в пространстве параллелепипеда, отношение будет равно \( A_1M : MC_1 = 3 : 5 \).