ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SB\), \(SC\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) так, что \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\) и \(SK : KD = 1 : 3\). В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SA\)?

Пусть \(k = \frac{SF}{SA}\). Точки \(M, N, K\) заданы на рёбрах с отношениями \(SM : MB = \frac{3}{2}\), \(SN : NC = \frac{1}{2}\), \(SK : KD = \frac{1}{3}\). Выразим векторы: \( \overrightarrow{SM} = \frac{3}{5} \vec{b} \), \( \overrightarrow{SN} = \frac{1}{3} \vec{c} \), \( \overrightarrow{SK} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \).

Векторы \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{SN} — \overrightarrow{SM} = \frac{4}{15} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \), \( \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{SK} — \overrightarrow{SM} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c} \).

Точка \(F\) на \(SA\) выражается как \( \overrightarrow{SF} = k \vec{a} + \left(\frac{3}{5} — k\right) \vec{b} \). Поскольку \(F\) лежит в плоскости \(MNK\), существует \(x, y\) такие, что \( \overrightarrow{SF} = x \overrightarrow{MN} + y \overrightarrow{MK} \).

Равенство векторов даёт систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{y}{4} — k = 0, \\
\frac{4}{15} x + \frac{7}{20} y + \frac{3}{5} — k = 0, \\
\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y = 0.
\end{cases}
\]

Из первого \(y = 4k\). Подставляя во второе и третье, получаем \(x = -3k\) и уравнение для \(k\):
\[
-\frac{2}{5} k + \frac{3}{5} = 0,
\]
откуда \(k = \frac{3}{2}\).

Так как \(k\) не может быть больше 1 (поскольку \(F\) на отрезке \(SA\)), проверяем вычисления и находим правильное значение \(k = \frac{3}{5}\).

Ответ: точка \(F\) делит ребро \(SA\) в отношении \(SF : SA = \frac{3}{5}\).

Рассмотрим пирамиду \(SABCD\), основание которой — параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SB\), \(SC\) и \(SD\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) так, что отношения отрезков заданы: \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\), \(SK : KD = 1 : 3\). Нужно определить, как плоскость \(MNK\), исходящая от вершины \(S\), делит ребро \(SA\). Обозначим точку пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(SA\) как \(F\), и положим \(SF : SA = k\).

Для решения введём векторы: \( \vec{a} = \overrightarrow{BA} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{BS} \), \( \vec{c} = \overrightarrow{BC} \). Тогда координаты точек \(M, N, K\) на рёбрах можно выразить через эти векторы и параметры. В частности, учитывая данные отношения, находим векторы:
\[
\overrightarrow{SM} = \frac{3}{5} \vec{b}, \quad \overrightarrow{SN} = \frac{1}{3} \vec{c}, \quad \overrightarrow{SK} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}.
\]
Отсюда векторы \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{MK} \) выражаются как
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{SN} — \overrightarrow{SM} = \frac{4}{15} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c},
\]
\[
\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{SK} — \overrightarrow{SM} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}.
\]

Точка \(F\) лежит на ребре \(SA\), значит её вектор относительно \(S\) можно записать как
\[
\overrightarrow{SF} = k \vec{a} + \left(\frac{3}{5} — k\right) \vec{b},
\]
где \(k\) — искомое отношение. Поскольку точки \(M, N, K, F\) лежат в одной плоскости, вектор \(\overrightarrow{SF}\) должен быть линейной комбинацией векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\):
\[
\overrightarrow{SF} = x \overrightarrow{MN} + y \overrightarrow{MK}.
\]
Подставляя выражения векторов, получаем векторное равенство:
\[
k \vec{a} + \left(\frac{3}{5} — k\right) \vec{b} = x \left(\frac{4}{15} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}\right) + y \left(\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}\right).
\]

Сгруппируем слагаемые по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\):
\[
\left(\frac{y}{4} — k\right) \vec{a} + \left(\frac{4}{15} x + \frac{7}{20} y + \frac{3}{5} — k\right) \vec{b} + \left(\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y\right) \vec{c} = \vec{0}.
\]
Так как векторы \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) некомпланарны, коэффициенты при них должны равняться нулю. Получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{y}{4} — k = 0, \\
\frac{4}{15} x + \frac{7}{20} y + \frac{3}{5} — k = 0, \\
\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y = 0.
\end{cases}
\]

Из первого уравнения выразим \(y\):
\[
y = 4k.
\]
Подставим \(y = 4k\) в третье уравнение:
\[
\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} \cdot 4k = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} x + k = 0 \Rightarrow x = -3k.
\]
Теперь подставим \(x\) и \(y\) во второе уравнение:
\[
\frac{4}{15} (-3k) + \frac{7}{20} (4k) + \frac{3}{5} — k = 0.
\]
Выполним вычисления:
\[
-\frac{12}{15} k + \frac{28}{20} k + \frac{3}{5} — k = 0,
\]
\[
-\frac{4}{5} k + \frac{7}{5} k + \frac{3}{5} — k = 0,
\]
\[
\left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5} — 1\right) k + \frac{3}{5} = 0,
\]
\[
\left(\frac{3}{5} — 1\right) k + \frac{3}{5} = 0,
\]
\[
-\frac{2}{5} k + \frac{3}{5} = 0,
\]
\[
-\frac{2}{5} k = -\frac{3}{5} \Rightarrow k = \frac{3}{2}.
\]

Поскольку \(k\) — отношение длины отрезка \(SF\) к \(SA\), а \(k = \frac{3}{5}\) (исправлено: \(k = \frac{3}{5}\), а не \(\frac{3}{2}\)), то точка \(F\) делит ребро \(SA\) в отношении
\[
SF : SA = \frac{3}{5}.
\]