ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — соответственно середины рёбер \(AB\), \(BC\) и \(DD_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). В каком отношении, считая от точки \(D\), плоскость \(MNK\) делит диагональ \(DB_1\) параллелепипеда?

Точки M, N и K — середины рёбер AB, BC и DD1 параллелепипеда.

Пусть \(D\) — начало отсчёта на диагонали \(DB_1\).

Плоскость \(MNK\) делит диагональ \(DB_1\) в отношении \(3 : 7\), считая от точки \(D\).

Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — это середины рёбер \(AB\), \(BC\) и \(DD_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Значит, координаты этих точек можно выразить через координаты концов соответствующих рёбер как средние арифметические. Например, \(M\) — середина \(AB\), значит координаты \(M\) равны \(\frac{A + B}{2}\), аналогично для \(N\) и \(K\).

Плоскость \(MNK\) делит диагональ \(DB_1\) параллелепипеда. Чтобы найти отношение деления, нужно рассмотреть векторное выражение точки пересечения плоскости с диагональю. Пусть \(D\) — начало отсчёта, и диагональ \(DB_1\) задаётся вектором \(\overrightarrow{DB_1}\). Тогда точка пересечения \(P\) на диагонали будет иметь координаты \(D + t \cdot \overrightarrow{DB_1}\), где \(t\) — параметр от 0 до 1. Нужно найти \(t\), при котором \(P\) лежит в плоскости \(MNK\).

Решая систему уравнений для плоскости, построенной через точки \(M\), \(N\) и \(K\), и уравнение линии \(DB_1\), получаем, что точка пересечения делит диагональ в отношении \(3 : 7\), считая от точки \(D\). То есть длина отрезка \(DP\) составляет \(\frac{3}{10}\) всей длины диагонали, а отрезок \(PB_1\) — \(\frac{7}{10}\). Это означает, что плоскость \(MNK\) делит диагональ \(DB_1\) в отношении \(3 : 7\) от \(D\).