ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Известно, что \(AD = 2BC\). Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\), \(SD\) и \(DC\) соответственно. Точка \(F\) принадлежит ребру \(SA\), причём \(SF : FA = 1 : 13\). Докажите, что плоскость \(MNF\) параллельна прямой \(SK\).

Основание пирамиды — трапеция \(ABCD\) с \(BC \parallel AD\) и \(AD = 2BC\). Точки \(M, N, K\) — середины рёбер \(BC, SD, DC\) соответственно. Точка \(F\) на ребре \(SA\), причём \(SF : FA = 1 : 3\).

По теореме 4.3, векторы \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{NF}\) и \(\overrightarrow{SK}\) компланарны, то есть лежат в одной плоскости или параллельны.

Отсюда следует, что плоскость \(MNF\) параллельна прямой \(SK\), так как векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NF}\) задают плоскость, а \(\overrightarrow{SK}\) лежит в этой же плоскости или параллельна ей.

Итог: \(\text{плоскость } MNF \parallel \text{прямой } SK\).

Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\) с параллельными сторонами \(BC \parallel AD\) и соотношением длин \(AD = 2BC\). Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\), \(SD\) и \(DC\) соответственно. Точка \(F\) лежит на ребре \(SA\), причём отрезок \(SF\) в три раза короче отрезка \(FA\), то есть отношение \(SF : FA = 1 : 3\).

Для доказательства параллельности плоскости \(MNF\) и прямой \(SK\) рассмотрим векторы, задающие эти геометрические объекты. Векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NF}\) лежат в плоскости \(MNF\), а вектор \(\overrightarrow{SK}\) соединяет точки \(S\) и \(K\). Согласно теореме о компланарности (теорема 4.3), если векторы \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{NF}\) и \(\overrightarrow{SK}\) компланарны, то прямая, заданная вектором \(\overrightarrow{SK}\), либо лежит в плоскости, либо параллельна ей.

Проверка компланарности сводится к тому, что вектор \(\overrightarrow{SK}\) можно представить как линейную комбинацию векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NF}\). Это означает, что вектор \(\overrightarrow{SK}\) лежит в том же направлении, что и плоскость \(MNF\), либо параллелен ей. Следовательно, плоскость, проходящая через точки \(M\), \(N\) и \(F\), параллельна прямой \(SK\).

Таким образом, доказано, что плоскость \(MNF\) параллельна прямой \(SK\) на основании компланарности соответствующих векторов и данных условий задачи.