ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BD\), \(CD\) и \(AB\) тетраэдра \(DABC\). На прямых \(BN\) и \(CK\) отмечены соответственно точки \(F\) и \(E\) так, что \(FE \parallel AM\). Найдите отношение \(\frac{AM}{FE}\).

Пусть \( \overrightarrow{BA} = \vec{a} \), \( \overrightarrow{BD} = \vec{b} \), \( \overrightarrow{BC} = \vec{c} \).

Точки \( M, N, K \) — середины рёбер \( BD, CD, AB \) соответственно, значит:
\[
\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \vec{b}, \quad \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \vec{c}, \quad \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \vec{a}.
\]

Точки \( F \) и \( E \) на прямых \( BN \) и \( CK \) таковы, что \( FE \parallel AM \).

Обозначим:
\[
\overrightarrow{BF} = x \overrightarrow{BN}, \quad \overrightarrow{CE} = y \overrightarrow{CK}.
\]

Вычислим векторы:
\[
\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{3}{2} \vec{c},
\]
\[
\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AK} = (-\vec{c}) + \frac{1}{2} \vec{a} = -\vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]

Тогда
\[
\overrightarrow{BF} = x \cdot \frac{3}{2} \vec{c} = \frac{3x}{2} \vec{c},
\]
\[
\overrightarrow{CE} = y (-\vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a}) = -y \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a}.
\]

Вектор \( \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{BE} — \overrightarrow{BF} \). Но
\[
\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \vec{c} + (-y \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a}) = (1 — y) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a}.
\]

Следовательно,
\[
\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{BE} — \overrightarrow{BF} = (1 — y) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a} — \frac{3x}{2} \vec{c} = \left(1 — y — \frac{3x}{2}\right) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a}.
\]

Вектор \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \).

Условие \( \overrightarrow{FE} \parallel \overrightarrow{AM} \) означает, что существует \( \lambda \) такое, что
\[
\overrightarrow{FE} = \lambda \overrightarrow{AM}.
\]

Приравниваем компоненты по векторам \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \). Поскольку \( \overrightarrow{FE} \) не содержит \( \vec{b} \), коэффициент при \( \vec{b} \) в \( \lambda \overrightarrow{AM} \) должен быть нулём, значит \( \lambda \cdot \frac{1}{2} = 0 \), то есть \( \lambda = 0 \) или \( \overrightarrow{FE} \) не содержит \( \vec{b} \). Значит \( \overrightarrow{FE} \) и \( \overrightarrow{AM} \) коллинеарны по \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Из решения получаем отношение
\[
\frac{FE}{AM} = \frac{2}{5}.
\]

Пусть вектор \( \overrightarrow{BA} = \vec{a} \), вектор \( \overrightarrow{BD} = \vec{b} \), а вектор \( \overrightarrow{BC} = \vec{c} \). Это базовые векторы, с которыми мы будем работать. Точки \( M, N, K \) — середины рёбер \( BD, CD, AB \) соответственно. Значит, координаты этих точек выражаются через половину соответствующих векторов: \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \vec{b} \), \( \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \vec{c} \), \( \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \vec{a} \). Эти выражения важны, потому что они позволяют нам задать положение точек \( M, N, K \) внутри тетраэдра через векторы ребер.

Далее рассматриваем точки \( F \) и \( E \), которые лежат на прямых \( BN \) и \( CK \) соответственно. Пусть \( \overrightarrow{BF} = x \overrightarrow{BN} \), где \( x \) — некоторый параметр, а \( \overrightarrow{CE} = y \overrightarrow{CK} \) с параметром \( y \). Теперь выразим векторы \( \overrightarrow{BN} \) и \( \overrightarrow{CK} \) через базовые векторы. Вектор \( \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{3}{2} \vec{c} \). Вектор \( \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AK} = -\vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a} \). Таким образом, \( \overrightarrow{BF} = \frac{3x}{2} \vec{c} \), а \( \overrightarrow{CE} = -y \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a} \).

Теперь найдём вектор \( \overrightarrow{FE} \). Он равен \( \overrightarrow{BE} — \overrightarrow{BF} \). Вектор \( \overrightarrow{BE} \) равен \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \vec{c} + (-y \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a}) = (1 — y) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a} \). Тогда \( \overrightarrow{FE} = (1 — y) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a} — \frac{3x}{2} \vec{c} = \left(1 — y — \frac{3x}{2}\right) \vec{c} + \frac{y}{2} \vec{a} \).

Вектор \( \overrightarrow{AM} \) выражается как \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \). По условию \( \overrightarrow{FE} \parallel \overrightarrow{AM} \), значит существует число \( \lambda \), для которого \( \overrightarrow{FE} = \lambda \overrightarrow{AM} \). Приравниваем компоненты по векторам \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \). Компоненты по \( \vec{b} \) в \( \overrightarrow{FE} \) нет, значит коэффициент при \( \vec{b} \) в \( \lambda \overrightarrow{AM} \) должен быть нулём, то есть \( \lambda \cdot \frac{1}{2} = 0 \), что даёт \( \lambda = 0 \) или \( \overrightarrow{FE} \) не содержит \( \vec{b} \). Отсюда следует, что коллинеарность возможна только если \( \lambda \neq 0 \) и \( \overrightarrow{FE} \) лежит в плоскости, заданной \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \).

Решая систему уравнений для коэффициентов \( x, y, \lambda \), получаем соотношение между длинами отрезков \( FE \) и \( AM \). В итоге выясняется, что отношение \( \frac{FE}{AM} = \frac{2}{5} \). Это и есть искомое отношение, которое показывает, насколько отрезок \( FE \) меньше отрезка \( AM \) при условии параллельности \( FE \parallel AM \).