ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь — 432 см\(^2\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Основание треугольника \( AC = 48 \) см, площадь \( S = 432 \) см².

1. Найдем высоту \( BH \) по формуле площади:
\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \Rightarrow 432 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot BH \Rightarrow BH = 18 \) см.

2. Найдем боковую сторону \( AB \) по теореме Пифагора в треугольнике \( ABH \):
\( AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \) см.

3. Найдем полупериметр \( p \):
\( p = \frac{AC + 2 \cdot AB}{2} = \frac{48 + 2 \cdot 30}{2} = \frac{48 + 60}{2} = \frac{108}{2} = 54 \) см.

4. Найдем радиус вписанной окружности \( r \) по формуле:
\( r = \frac{S}{p} = \frac{432}{54} = 8 \) см.

Ответ: \( r = 8 \) см.

1. Для начала вспомним формулу площади треугольника, которая выражается через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \), где \( AC \) — основание, а \( BH \) — высота, проведённая к основанию. В условии задачи известно, что основание равно 48 см, а площадь равна 432 см². Подставим эти значения в формулу и выразим высоту: \( 432 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot BH \). Упростим уравнение: \( 432 = 24 \cdot BH \), откуда высота \( BH = \frac{432}{24} = 18 \) см. Таким образом, мы нашли высоту равнобедренного треугольника, опущенную на основание.

2. Следующий шаг — найти длину боковой стороны \( AB \). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \), где \( BH \) — высота, \( AH \) — половина основания, и \( AB \) — гипотенуза. Поскольку треугольник равнобедренный, точка \( H \) делит основание пополам: \( AH = \frac{48}{2} = 24 \) см. По теореме Пифагора длина боковой стороны равна \( AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \) см. Таким образом, боковая сторона равна 30 см.

3. Теперь найдём радиус вписанной окружности \( r \). Для этого сначала вычислим полупериметр треугольника \( p \). Периметр равен сумме всех сторон: \( P = AC + 2 \cdot AB = 48 + 2 \cdot 30 = 48 + 60 = 108 \) см, следовательно, полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{108}{2} = 54 \) см. Радиус вписанной окружности находится по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь, а \( p \) — полупериметр. Подставим известные значения: \( r = \frac{432}{54} = 8 \) см. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 8 см.