ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Найдите основания трапеции.

Даны боковые стороны трапеции \(3\) см и \(5\) см. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть \(x + y = 8\).

Средняя линия трапеции равна \( \frac{x + y}{2} = 4 \). Она делит трапецию на две части с отношением площадей \(5 : 11\), что даёт уравнение \(\frac{x + 4}{y + 4} = \frac{5}{11}\).

Подставляя \(x = 8 — y\) в уравнение отношения площадей, получаем \(\frac{12 — y}{y + 4} = \frac{5}{11}\). Перемножая, имеем \(11(12 — y) = 5(y + 4)\), откуда \(132 — 11 y = 5 y + 20\). Переносим члены и упрощаем: \(112 = 16 y\), значит \(y = 7\).

Тогда \(x = 8 — 7 = 1\). Ответ: основания трапеции равны 1 см и 7 см.

Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см, значит сумма боковых сторон равна 8 см. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, выполняется равенство суммы оснований трапеции сумме боковых сторон. Обозначим основания трапеции за \(x\) и \(y\). Тогда имеем уравнение:

1. \(x + y = 8\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть \(\frac{x + y}{2}\). Подставляя сумму оснований, получаем:

2. Средняя линия \(= \frac{8}{2} = 4\).

Средняя линия делит трапецию на две части, площади которых относятся как 5 к 11. Пусть основания верхней и нижней частей трапеции равны \(x\) и \(y\), тогда отношение площадей частей выражается через отношение произведений оснований и высот. Высоты у обеих частей равны, так как средняя линия параллельна основаниям. Для удобства введём переменные:

3. Пусть \(BC = x\), а \(AD = y\).

Отношение площадей частей трапеции равно отношению произведений оснований с добавлением средней линии, то есть:

4. \(\frac{x + 4}{y + 4} = \frac{5}{11}\).

Из системы уравнений

\(\begin{cases}
x + y = 8 \\
\frac{x + 4}{y + 4} = \frac{5}{11}
\end{cases}\)

выразим \(x\) через \(y\):

5. \(x = 8 — y\).

Подставим это в уравнение отношения площадей:

6. \(\frac{8 — y + 4}{y + 4} = \frac{5}{11}\), что эквивалентно \(\frac{12 — y}{y + 4} = \frac{5}{11}\).

Перемножим крест-накрест:

7. \(11 (12 — y) = 5 (y + 4)\),

раскроем скобки:

8. \(132 — 11 y = 5 y + 20\).

Перенесём все члены с \(y\) в одну сторону, а константы в другую:

9. \(132 — 20 = 5 y + 11 y\), то есть \(112 = 16 y\).

Найдём \(y\):

10. \(y = \frac{112}{16} = 7\).

Подставим значение \(y\) в уравнение для \(x\):

11. \(x = 8 — 7 = 1\).

Таким образом, основания трапеции равны 1 см и 7 см.