ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), если \(A(4; -1; -4)\), \(B(0; 5; 6)\), \(C(0; 2; 7)\), \(D(2; -1; 2)\)?

Векторы \( \overrightarrow{AB} = (0 — 4; 5 — (-1); 6 — (-4)) = (-4; 6; 10) \) и \( \overrightarrow{CD} = (2 — 0; -1 — 2; 2 — 7) = (2; -3; -5) \).

Проверяем коллинеарность: найдём отношение соответствующих координат:

\[
\frac{-4}{2} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2
\]

Все отношения равны, значит векторы коллинеарны.

Для проверки коллинеарности векторов сначала необходимо найти координаты каждого из них. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) определяется как разность координат точки \( B \) и точки \( A \). То есть, его координаты вычисляются по формуле \( (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) \). Подставляя значения, получаем: \( (0 — 4; 5 — (-1); 6 — (-4)) \), что равно \( (-4; 6; 10) \).

Аналогично, координаты вектора \( \overrightarrow{CD} \) находятся как разность координат точки \( D \) и точки \( C \). Это будет \( (2 — 0; -1 — 2; 2 — 7) \), что даёт \( (2; -3; -5) \). Теперь у нас есть два вектора с известными координатами: \( \overrightarrow{AB} = (-4; 6; 10) \) и \( \overrightarrow{CD} = (2; -3; -5) \).

Чтобы определить, коллинеарны ли эти векторы, нужно проверить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью умножения на одно и то же число (скаляр). Это значит, что отношения соответствующих координат должны быть равны. Рассчитаем эти отношения: \( \frac{-4}{2} = -2 \), \( \frac{6}{-3} = -2 \), \( \frac{10}{-5} = -2 \). Поскольку все три отношения равны между собой и равны числу \(-2\), это доказывает, что векторы коллинеарны.