ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы \(\vec{DE}\) и \(\vec{FK}\), если \(D(2; -3; 4)\), \(E(-1; 6; 2)\), \(F(-2; 8; 6)\), \(K(-3; 11; 7)\)?

Векторы \( \overrightarrow{DE} \) и \( \overrightarrow{FK} \):

\(\overrightarrow{DE} = (-1 — 2; 6 — (-3); 2 — 4) = (-3; 9; -2)\)

\(\overrightarrow{FK} = (-3 — (-2); 11 — 8; 7 — 6) = (-1; 3; 1)\)

Проверяем коллинеарность, деля компоненты:

\(\frac{-3}{-1} = 3\), \(\frac{9}{3} = 3\), \(\frac{-2}{1} = -2\)

Так как \(\frac{-2}{1} \neq 3\), векторы не коллинеарны.

1. Для определения коллинеарности векторов \( \overrightarrow{DE} \) и \( \overrightarrow{FK} \) сначала нужно найти координаты этих векторов. Вектор \( \overrightarrow{DE} \) определяется как разность координат точки \( E \) и точки \( D \). То есть:

\( \overrightarrow{DE} = (x_E — x_D; y_E — y_D; z_E — z_D) \).

Подставляя значения из условия, получаем:

\( \overrightarrow{DE} = (-1 — 2; 6 — (-3); 2 — 4) = (-3; 9; -2) \).

Аналогично для вектора \( \overrightarrow{FK} \):

\( \overrightarrow{FK} = (x_K — x_F; y_K — y_F; z_K — z_F) \),

где

\( \overrightarrow{FK} = (-3 — (-2); 11 — 8; 7 — 6) = (-1; 3; 1) \).

2. Коллинеарность векторов означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число \( k \), то есть:

\( \overrightarrow{DE} = k \cdot \overrightarrow{FK} \).

Для проверки этой зависимости нужно сравнить соответствующие компоненты векторов. Если существует одно и то же число \( k \), при котором выполняется равенство для всех трех компонентов, то векторы коллинеарны.

Вычислим отношение соответствующих компонент:

\( \frac{-3}{-1} = 3 \),

\( \frac{9}{3} = 3 \),

\( \frac{-2}{1} = -2 \).

3. Видно, что первые две дроби равны 3, а третья равна -2. Значит, нет единого коэффициента \( k \), при котором все компоненты совпадают. Следовательно, векторы \( \overrightarrow{DE} \) и \( \overrightarrow{FK} \) не коллинеарны, так как не лежат на одной прямой и не являются параллельными. Это подтверждает вывод, что данные векторы не удовлетворяют условию коллинеарности.