ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образом точки \(A(-3; 9; 5)\) при гомотетии с центром в начале координат является точка \(B(9; -27; -15)\). Найдите коэффициент гомотетии.

Обозначим коэффициент гомотетии через \( k \).

Для каждой координаты выполняется равенство:
\( k \cdot (-3) = 9 \),
откуда
\( k = \frac{9}{-3} = -3 \).

Проверим на других координатах:
\( k \cdot 9 = -27 \Rightarrow k = \frac{-27}{9} = -3 \),
\( k \cdot 5 = -15 \Rightarrow k = \frac{-15}{5} = -3 \).

Коэффициент гомотетии \( k = -3 \).

Образ точки \( A(-3; 9; 5) \) при гомотетии с центром в начале координат — это точка \( B(9; -27; -15) \). Гомотетия — это преобразование, при котором каждая координата точки умножается на один и тот же коэффициент \( k \), называемый коэффициентом гомотетии. Центр гомотетии в начале координат означает, что преобразование происходит относительно точки \( (0; 0; 0) \).

Для нахождения коэффициента гомотетии \( k \) воспользуемся соответствием координат точек \( A \) и \( B \). По определению гомотетии, координаты точки \( B \) связаны с координатами точки \( A \) формулами: \( x_B = k \cdot x_A \), \( y_B = k \cdot y_A \), \( z_B = k \cdot z_A \). Подставим значения: \( 9 = k \cdot (-3) \). Отсюда \( k = \frac{9}{-3} = -3 \).

Проверим найденный коэффициент на остальных координатах: \( -27 = k \cdot 9 \Rightarrow k = \frac{-27}{9} = -3 \) и \( -15 = k \cdot 5 \Rightarrow k = \frac{-15}{5} = -3 \). Все три координаты дают одинаковый коэффициент \( k = -3 \), что подтверждает правильность решения. Таким образом, коэффициент гомотетии равен \( -3 \).