ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты образа точки \(A(20; -35; -55)\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии \(k = \frac{3}{5}\).

Координаты образа точки \( A(20; -35; -55) \) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \( k = \frac{3}{5} \) находятся по формуле:

\( A’ = (k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z) \).

Подставляем значения:

\( x’ = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 \),

\( y’ = \frac{3}{5} \cdot (-35) = -21 \),

\( z’ = \frac{3}{5} \cdot (-55) = -33 \).

Ответ: \( A'(12; -21; -33) \).

Для нахождения координат образа точки \( A(20; -35; -55) \) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии \( k = \frac{3}{5} \) используется формула преобразования координат. Гомотетия — это преобразование, при котором каждая координата точки умножается на коэффициент \( k \), а центр гомотетии остаётся неподвижным. В данном случае центр — начало координат, поэтому формула для образа точки выглядит так: \( A’ = (k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z) \), где \( (x; y; z) \) — координаты исходной точки.

Подставим в эту формулу координаты точки \( A \) и значение коэффициента \( k \). Для первой координаты: \( x’ = \frac{3}{5} \cdot 20 \). Чтобы умножить, нужно 20 умножить на числитель дроби и разделить на знаменатель: \( 20 \cdot 3 = 60 \), затем \( 60 \div 5 = 12 \). Значит, новая первая координата равна 12. Аналогично для второй координаты: \( y’ = \frac{3}{5} \cdot (-35) = \frac{3 \cdot (-35)}{5} = \frac{-105}{5} = -21 \). Здесь знак минус сохраняется, так как умножаем на отрицательное число.

Для третьей координаты: \( z’ = \frac{3}{5} \cdot (-55) = \frac{3 \cdot (-55)}{5} = \frac{-165}{5} = -33 \). Таким образом, все координаты новой точки получены путём умножения соответствующих координат исходной точки на коэффициент гомотетии. Итоговый результат: \( A'(12; -21; -33) \). Это и есть координаты образа точки \( A \) после применения гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \( \frac{3}{5} \).