ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 5.9), точка \( O \) — центр грани \( ABCD \).

Чему равен угол между векторами:

1) \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \);

2) \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BO} \);

3) \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{BO} \);

4) \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \);

5) \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \);

6) \( \overrightarrow{BO} \) и \( \overrightarrow{CD} \)?

1) Угол между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен 135°.

2) Угол между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BO} \) равен 90°.

3) Угол между векторами \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{BO} \) равен 90°.

4) Угол между векторами \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) равен 0°.

5) Угол между векторами \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \) равен 180°.

6) Угол между векторами \( \overrightarrow{BO} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен 45°.

1) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) лежат в плоскости грани \( ABCD \) куба. Поскольку \( AC \) и \( CD \) — это диагонали и стороны квадрата соответственно, угол между ними можно найти, используя геометрические свойства квадрата. Диагональ квадрата образует угол 45° с каждой стороной, следовательно угол между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен \( 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ \).

2) Вектор \( \overrightarrow{BO} \) направлен от вершины \( B \) к центру грани \( ABCD \), а вектор \( \overrightarrow{AC} \) — диагональ этой грани. Поскольку точка \( O \) — центр грани, вектор \( \overrightarrow{BO} \) перпендикулярен вектору, лежащему на диагонали \( AC \), так как центр делит диагональ пополам. Следовательно угол между \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BO} \) равен \( 90^\circ \).

3) Вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) направлен вертикально вверх вдоль ребра куба, а вектор \( \overrightarrow{BO} \) лежит в плоскости основания куба. Поскольку эти два вектора лежат в перпендикулярных плоскостях (вертикальной и горизонтальной), угол между ними равен \( 90^\circ \).

4) Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) оба направлены вертикально вверх, так как они параллельны ребрам куба, соединяющим нижнюю и верхнюю грани. Это значит, что угол между ними равен \( 0^\circ \), так как они коллинеарны и направлены в одну сторону.

5) Вектор \( \overrightarrow{B_1B} \) направлен вертикально вниз, а вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) направлен вертикально вверх. Они лежат на одной прямой, но имеют противоположные направления, следовательно угол между ними равен \( 180^\circ \).

6) Вектор \( \overrightarrow{BO} \) направлен из вершины \( B \) к центру грани \( ABCD \), а вектор \( \overrightarrow{CD} \) — сторона грани. Угол между ними равен углу между диагональю и стороной квадрата, который равен \( 45^\circ \), так как точка \( O \) — центр квадрата, и \( \overrightarrow{BO} \) образует угол 45° с \( \overrightarrow{CD} \).