ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если:

1) \( \vec{a} = (4; -1; 6), \vec{b} = (-7; 2; 8) \);

2) \( \vec{a} = (1; -3; 9), \vec{b} = (-1; 3; 0) \).

Для 1) скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (4; -1; 6) \) и \( \vec{b} = (-7; 2; 8) \) вычисляется по формуле
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-7) + (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 8 = -28 — 2 + 48 = 18 \).

Для 2) скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (1; -3; 9) \) и \( \vec{b} = (-1; 3; 0) \) вычисляется так:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 9 \cdot 0 = -1 — 9 + 0 = -10 \).

1) Для вычисления скалярного произведения двух векторов \( \vec{a} = (4; -1; 6) \) и \( \vec{b} = (-7; 2; 8) \) необходимо перемножить соответствующие компоненты векторов и сложить полученные произведения. Это означает, что мы берем первую компоненту вектора \( \vec{a} \), умножаем её на первую компоненту вектора \( \vec{b} \), затем вторую компоненту \( \vec{a} \) умножаем на вторую компоненту \( \vec{b} \), и так далее. Формула скалярного произведения в трехмерном пространстве выглядит так:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Подставим значения:
\( 4 \cdot (-7) + (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 8 \).
Выполним поочередно умножения:
\( 4 \cdot (-7) = -28 \),
\( (-1) \cdot 2 = -2 \),
\( 6 \cdot 8 = 48 \).
Теперь сложим результаты:
\( -28 — 2 + 48 = 18 \).
Таким образом, скалярное произведение равно \( 18 \).

2) Для второго случая с векторами \( \vec{a} = (1; -3; 9) \) и \( \vec{b} = (-1; 3; 0) \) применяем ту же формулу:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).
Подставляем значения:
\( 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 9 \cdot 0 \).
Выполним умножения:
\( 1 \cdot (-1) = -1 \),
\( (-3) \cdot 3 = -9 \),
\( 9 \cdot 0 = 0 \).
Складываем:
\( -1 — 9 + 0 = -10 \).
Таким образом, скалярное произведение равно \( -10 \).