ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \( \vec{m} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{n} = (2; 2; z) \). При каком значении \( z \) выполняется равенство \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 18 \)?

Вычисляем скалярное произведение векторов \( \vec{m} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{n} = (2; 2; z) \):

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 4 \cdot z = 6 — 4 + 4z = 2 + 4z \).

По условию:

\( 2 + 4z = 18 \).

Вычитаем 2 с обеих сторон:

\( 4z = 16 \).

Делим на 4:

\( z = 4 \).

1. Для начала вспомним, что скалярное произведение двух векторов \( \vec{m} = (m_1; m_2; m_3) \) и \( \vec{n} = (n_1; n_2; n_3) \) вычисляется по формуле \( \vec{m} \cdot \vec{n} = m_1 n_1 + m_2 n_2 + m_3 n_3 \). В нашем случае даны векторы \( \vec{m} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{n} = (2; 2; z) \), где \( z \) — неизвестное число, которое нужно найти.

2. Подставим координаты векторов в формулу скалярного произведения: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 4 \cdot z \). Выполним умножение: \( 3 \cdot 2 = 6 \), \( (-2) \cdot 2 = -4 \), и \( 4 \cdot z = 4z \). После этого сложим полученные значения: \( 6 — 4 + 4z = 2 + 4z \). Таким образом, скалярное произведение выражается через \( z \) как \( 2 + 4z \).

3. По условию задачи скалярное произведение равно 18, то есть \( 2 + 4z = 18 \). Чтобы найти \( z \), сначала нужно избавиться от свободного члена 2, для этого вычтем 2 с обеих сторон уравнения: \( 4z = 18 — 2 \), что даёт \( 4z = 16 \). Далее разделим обе части уравнения на 4, чтобы выразить \( z \): \( z = \frac{16}{4} \). Выполнив деление, получаем \( z = 4 \). Это и есть искомое значение переменной \( z \), при котором скалярное произведение векторов равно 18.