ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \( \vec{a} = (9; c; -1) \) и \( \vec{b} = (-2; 3; c) \). При каком значении \( c \) выполняется равенство \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -24 \)?

Дано равенство скалярного произведения векторов:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot (-2) + c \cdot 3 + (-1) \cdot c = -24 \).

Упростим:
\( -18 + 3c — c = -24 \).

Соберём подобные:
\( -18 + 2c = -24 \).

Переносим -18 вправо:
\( 2c = -24 + 18 \).

Вычисляем:
\( 2c = -6 \).

Делим на 2:
\( c = -3 \).

Для начала вспомним, что скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) вычисляется по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \). В нашем случае векторы заданы как \( \vec{a} = (9; c; -1) \) и \( \vec{b} = (-2; 3; c) \). Подставим компоненты в формулу скалярного произведения: \( 9 \cdot (-2) + c \cdot 3 + (-1) \cdot c \).

Выполним умножение: \( 9 \cdot (-2) = -18 \), \( c \cdot 3 = 3c \), а \( (-1) \cdot c = -c \). Таким образом, выражение принимает вид \( -18 + 3c — c \). Теперь упростим его, объединив подобные члены с \( c \): \( 3c — c = 2c \), следовательно, получаем \( -18 + 2c \).

По условию задачи скалярное произведение равно \( -24 \), то есть \( -18 + 2c = -24 \). Чтобы найти \( c \), перенесём число \( -18 \) в правую часть уравнения с изменённым знаком: \( 2c = -24 + 18 \). Выполним сложение: \( -24 + 18 = -6 \), значит \( 2c = -6 \). Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить \( c \): \( c = \frac{-6}{2} = -3 \). Таким образом, значение \( c \), при котором выполняется равенство скалярного произведения, равно \( -3 \).