ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Среди векторов \( \vec{a} = (1; 1; 2), \vec{b} = (1; 2; 1) \) и \( \vec{c} = (-5; 3; 1) \) укажите пару перпендикулярных векторов.

Вычислим скалярные произведения векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5 \neq 0\), значит \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не перпендикулярны.

\(\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -5 + 3 + 2 = 0\), значит \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) перпендикулярны.

Ответ: пара перпендикулярных векторов — \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).

Для определения, какие векторы из заданных являются перпендикулярными, нужно воспользоваться определением перпендикулярности векторов через скалярное произведение. Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Пусть даны векторы \( \vec{a} = (1; 1; 2) \), \( \vec{b} = (1; 2; 1) \) и \( \vec{c} = (-5; 3; 1) \). Рассчитаем скалярные произведения между парами векторов.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Формула скалярного произведения для векторов в трехмерном пространстве: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 \). Подставим значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5 \). Поскольку результат не равен нулю, векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) не являются перпендикулярными.

Теперь найдем скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \): \( \vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -5 + 3 + 2 = 0 \). Результат равен нулю, что означает, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) взаимно перпендикулярны. Таким образом, из всех пар векторов только \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) образуют угол в 90 градусов, то есть они перпендикулярны друг другу.