ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

При каком значении \( x \) векторы \( \vec{a} = (x; -x; 1) \) и \( \vec{b} = (x; 2; 1) \) перпендикулярны?

Для нахождения значения \( x \), при котором векторы \(\vec{a} = (x; -x; 1)\) и \(\vec{b} = (x; 2; 1)\) перпендикулярны, используем условие перпендикулярности — скалярное произведение равно нулю.

Вычисляем скалярное произведение: \(x \cdot x + (-x) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0\).

Получаем уравнение: \(x^2 — 2x + 1 = 0\), которое можно записать как \((x — 1)^2 = 0\).

Решение уравнения: \(x = 1\). Это значение \( x \) обеспечивает перпендикулярность векторов.

1. Чтобы определить, при каком значении \( x \) векторы \(\vec{a} = (x; -x; 1)\) и \(\vec{b} = (x; 2; 1)\) перпендикулярны, нужно воспользоваться свойством скалярного произведения. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) вычисляется по формуле \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\).

2. Подставим компоненты данных векторов в формулу скалярного произведения: \(x \cdot x + (-x) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0\). Это равенство можно записать как \(x^2 — 2x + 1 = 0\). Полученное уравнение — квадратное, и его корни определяют те значения \(x\), при которых векторы будут перпендикулярны.

3. Уравнение \(x^2 — 2x + 1 = 0\) можно упростить, заметив, что оно является полным квадратом: \((x — 1)^2 = 0\). Это означает, что уравнение имеет единственный корень — \(x = 1\). Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны только при \(x = 1\).