ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \( p \) векторы \( \vec{a} = (p; -2; 1) \) и \( \vec{b} = (p; 1; -p) \) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\((p) \cdot (p) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = 0\)

Раскроем скобки:

\(p^2 — 2 — p = 0\)

Перепишем уравнение:

\(p^2 — p — 2 = 0\)

Вычислим дискриминант:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)

Найдём корни уравнения:

\(p_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\)

\(p_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)

Ответ: \(p = -1\) или \(p = 2\).

Для того чтобы определить, при каких значениях \( p \) векторы \( \vec{a} = (p; -2; 1) \) и \( \vec{b} = (p; 1; -p) \) перпендикулярны, нужно воспользоваться свойством скалярного произведения. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) вычисляется по формуле \( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

В нашем случае скалярное произведение равно \( p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) \). Составим уравнение: \( p^2 — 2 — p = 0 \). Это квадратное уравнение относительно переменной \( p \). Для удобства перепишем его в стандартном виде: \( p^2 — p — 2 = 0 \).

Чтобы решить это уравнение, вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). Подставим значения: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \( p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим данные: \( p_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( p_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \). Таким образом, векторы будут перпендикулярны при \( p = -1 \) или \( p = 2 \).