ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \( DABC \) равно \( a \), точки \( M, K \) и \( P \) — соответственно середины рёбер \( AB, AD \) и \( CD \). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{DC} \);

2) \( \overrightarrow{MK} \) и \( \overrightarrow{DA} \);

3) \( \overrightarrow{PK} \) и \( \overrightarrow{BC} \);

4) \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{PM} \).

1) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}\).

2) \(\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{DA} = \frac{a}{2} \cdot a \cdot \cos 120^\circ = \frac{a^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{4}\).

3) \(\overrightarrow{PK} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{a}{2} \cdot a \cdot \cos 120^\circ = \frac{a^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{4}\).

4) \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM} = 0\), так как \(\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{PM}\).

1) Рассмотрим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\). В правильном тетраэдре все рёбра равны длине \(a\), а угол между рёбрами, исходящими из одной вершины, равен \(120^\circ\). Поэтому длины векторов равны \(a\), а угол между ними \(\theta = 120^\circ\). Скалярное произведение определяется как \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos \theta \). Подставляя значения, получаем \( a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} \). Отрицательный знак показывает, что векторы направлены под углом больше 90 градусов.

2) Теперь вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{DA}\). Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно, поэтому длины отрезков \(AM\) и \(AK\) равны \(\frac{a}{2}\). Вектор \(\overrightarrow{MK}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{AK} — \overrightarrow{AM}\). Длина вектора \(\overrightarrow{MK}\) равна \(\frac{a}{2}\), а угол между \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{DA}\) такой же, как между рёбрами, то есть \(120^\circ\). Тогда скалярное произведение равно \( \frac{a}{2} \cdot a \cdot \cos 120^\circ = \frac{a^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{4} \).

3) Рассмотрим скалярное произведение \(\overrightarrow{PK} \cdot \overrightarrow{BC}\). Точка \(P\) — середина ребра \(CD\), а \(K\) — середина ребра \(AD\). Вектор \(\overrightarrow{PK}\) имеет длину \(\frac{a}{2}\), а вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен длине ребра \(a\). Угол между ними такой же, как и в предыдущих случаях, \(120^\circ\). Следовательно, скалярное произведение равно \( \frac{a}{2} \cdot a \cdot \cos 120^\circ = \frac{a^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{4} \).

4) Для скалярного произведения векторов \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{PM}\) важно заметить, что векторы перпендикулярны друг другу. Вектор \(\overrightarrow{CD}\) направлен вдоль ребра, а \(\overrightarrow{PM}\) соединяет середины рёбер, лежащих в другой плоскости, что делает их ортогональными. Поэтому скалярное произведение равно нулю: \( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM} = 0 \).