ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) равно \( a \), точки \( E \) и \( F \) — соответственно середины рёбер \( AB \) и \( AD \). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{DC_1} \);

2) \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{C_1D} \);

3) \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{C_1C} \);

4) \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{DC} \).

1) \( \overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{DC_1} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \)

2) \( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{C_1D} = 2a \cdot a \cdot (-1) = -2a^2 \)

3) \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{C_1C} = 0 \), так как векторы перпендикулярны

4) \( \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DC} = \frac{a}{2} \cdot a \cdot (-1) = -\frac{a^2}{2} \)

1) Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{DC_1} \). Ребро куба равно \( a \), значит длина ребра \( AA_1 \) равна \( a \). Вектор \( \overrightarrow{DC_1} \) направлен по диагонали грани куба, длина этой диагонали равна \( a\sqrt{2} \). Угол между векторами равен 45°, так как \( \overrightarrow{AA_1} \) вертикален, а \( \overrightarrow{DC_1} \) лежит в плоскости грани и наклонен под углом 45°. Скалярное произведение считается по формуле \( |\overrightarrow{AA_1}| \cdot |\overrightarrow{DC_1}| \cdot \cos 45^\circ \). Подставляя значения, получаем: \( a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \).

2) Для векторов \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{C_1D} \) длина \( \overrightarrow{AB_1} \) равна \( 2a \), так как это диагональ ребра и высоты. Вектор \( \overrightarrow{C_1D} \) направлен в сторону, противоположную \( \overrightarrow{AB_1} \), поэтому угол между ними 180°, а косинус равен -1. Тогда скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла: \( 2a \cdot a \cdot (-1) = -2a^2 \).

3) Векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{C_1C} \) перпендикулярны, так как \( \overrightarrow{BA} \) лежит в основании куба, а \( \overrightarrow{C_1C} \) направлен вертикально вверх. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, то есть \( 0 \).

4) Точки \( E \) и \( F \) — середины рёбер \( AB \) и \( AD \), поэтому вектор \( \overrightarrow{EF} \) равен половине суммы векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \). Длина \( \overrightarrow{EF} \) равна \( \frac{a}{2} \), а вектор \( \overrightarrow{DC} \) направлен в сторону, противоположную \( \overrightarrow{EF} \), угол между ними 180°, косинус равен -1. Тогда скалярное произведение: \( \frac{a}{2} \cdot a \cdot (-1) = -\frac{a^2}{2} \).