ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \( DABC \) равно \( a \), точка \( M \) — середина ребра \( AB \). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \( \overrightarrow{CM} \) и \( \overrightarrow{DC} \);

2) \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \).

1) Найдем длины и координаты векторов.
Ребро тетраэдра \( a \). Точка \( M \) — середина \( AB \), значит \( CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), а \( DC = a \). Угол между \( CM \) и \( DC \) равен \( 60^\circ \).
Скалярное произведение:
\(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = |CM| \cdot |DC| \cdot \cos 60^\circ = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

2) Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярны, значит
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\).

1) Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром длины \( a \). Точка \( M \) — середина ребра \( AB \), значит вектор \( \overrightarrow{CM} \) направлен от вершины \( C \) к середине ребра \( AB \). Для правильного тетраэдра длина ребра \( a \), а расстояние от вершины до середины ребра можно выразить через \( a \) и геометрические свойства тетраэдра. В частности, длина отрезка \( CM \) равна \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \), так как \( M \) делит ребро пополам, а высоты и диагонали связаны через корень из трёх.

Далее, вектор \( \overrightarrow{DC} \) — это ребро тетраэдра длиной \( a \). Угол между векторами \( \overrightarrow{CM} \) и \( \overrightarrow{DC} \) равен \( 60^\circ \), что вытекает из симметрии правильного тетраэдра и равенства углов между ребрами.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |u| \cdot |v| \cdot \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между ними. Подставляя значения, получаем:
\( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

2) Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) — это ребра правильного тетраэдра, которые не имеют общих вершин и расположены так, что они перпендикулярны друг другу. В правильном тетраэдре ребра, не смежные одной вершиной, образуют прямой угол. Поэтому угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен \( 90^\circ \).

Скалярное произведение двух векторов, между которыми угол \( 90^\circ \), равно нулю, так как \( \cos 90^\circ = 0 \). Значит:
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = |AB| \cdot |CD| \cdot \cos 90^\circ = a \cdot a \cdot 0 = 0 \).

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равно нулю.