ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной пирамиды \( MABCD \) равно \( a \). Найдите скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AC} \).

Рассмотрим правильную пирамиду \( MABCD \) с ребрами длины \( a \).

Векторы:
\(\overrightarrow{AM}\) — от вершины \( A \) к вершине \( M \),
\(\overrightarrow{AC}\) — от вершины \( A \) к вершине \( C \).

Так как пирамида правильная, основание — квадрат со стороной \( a \).
Длина диагонали квадрата \( AC = a\sqrt{2} \).

Высота пирамиды \( AM = a \).

Угол между векторами \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AC} \) равен \( 45^\circ \) (так как высота падает на центр основания, и диагональ образует с высотой угол 45°).

Скалярное произведение:

\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |AM| \cdot |AC| \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2
\]

Ответ: \( a^2 \).

1. Рассмотрим правильную пирамиду \( MABCD \), у которой все ребра равны длине \( a \). Основание пирамиды — квадрат \( ABCD \) со стороной \( a \). Вершина \( M \) находится над центром основания, и высота пирамиды равна \( a \). Векторы, которые нужно рассмотреть, — это \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Вектор \(\overrightarrow{AM}\) направлен от вершины \( A \) к вершине \( M \), а \(\overrightarrow{AC}\) — от вершины \( A \) к вершине \( C \), которая является вершиной квадрата, противоположной \( A \).

2. Длина ребра основания равна \( a \), поэтому диагональ квадрата \( AC \) вычисляется по формуле диагонали квадрата: \( AC = a \sqrt{2} \). Поскольку пирамида правильная, высота \( AM \) равна \( a \). Вектор \(\overrightarrow{AM}\) направлен вертикально вверх из точки \( A \), а вектор \(\overrightarrow{AC}\) лежит в плоскости основания. Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \( 45^\circ \), так как высота пирамиды падает на центр квадрата, а диагональ образует с высотой угол \( 45^\circ \).

3. Скалярное произведение двух векторов определяется формулой:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |AM| \cdot |AC| \cdot \cos \theta\),
где \( \theta \) — угол между векторами. Подставим известные значения:
\(|AM| = a\),
\(|AC| = a \sqrt{2}\),
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Тогда:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \cdot \frac{2}{2} = a^2\).
Ответ: скалярное произведение равно \( a^2 \).