ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 40°. Чему равен угол между векторами:
1) \(-3\vec{a}\) и \(-5\vec{b}\);
2) \(-7\vec{a}\) и \(10\vec{b}\)?

Угол между векторами не меняется при умножении на отрицательные или положительные скаляры, так как направление векторов сохраняется или меняется на противоположное, а угол между ними остаётся тем же.

1) Угол между \(-3\vec{a}\) и \(-5\vec{b}\) равен углу между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), то есть \(40^\circ\).

2) Угол между \(-7\vec{a}\) и \(10\vec{b}\) равен углу между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), но учитывая, что один вектор умножен на отрицательное число, угол становится дополнительным к \(180^\circ\), то есть \(180^\circ — 40^\circ = 140^\circ\).

Угол между двумя векторами определяется направлением этих векторов, а не их длиной или знаком коэффициентов, на которые они умножаются. Если вектор умножить на положительное число, то его направление не изменится, а если на отрицательное — направление вектора изменится на противоположное. Однако угол между двумя векторами — это угол между их направлениями, и при изменении направления одного из векторов угол меняется на дополнительный к 180°, то есть \(180^\circ — \alpha\), где \(\alpha\) — исходный угол.

1) В случае с векторами \(-3\vec{a}\) и \(-5\vec{b}\), оба вектора умножены на отрицательные числа, что означает, что оба вектора направлены в противоположную сторону от исходных \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Поскольку оба вектора повернуты на 180°, угол между ними останется тем же, что и между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). То есть угол равен \(40^\circ\).

2) Для векторов \(-7\vec{a}\) и \(10\vec{b}\) один вектор умножен на отрицательное число, а другой — на положительное. Это значит, что один вектор направлен противоположно исходному, а другой — в том же направлении. В таком случае угол между ними равен дополнительному к 180° углу исходного, то есть \(180^\circ — 40^\circ = 140^\circ\).

Таким образом, при умножении векторов на скаляры знак влияет на направление векторов, а значит и на угол между ними, но не меняет величину угла, если оба вектора умножены на числа с одинаковым знаком. Если знаки разные, угол становится дополнительным к 180°.