ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \( \vec{m} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{n} = \vec{a} — 2\vec{b} \), если \( |\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 2, 2(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ \).

Сначала вычисляем скалярное произведение векторов \( \vec{m} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{n} = \vec{a} — 2\vec{b} \):

\(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{a}|^{2} — (\vec{a} \cdot \vec{b}) — 2|\vec{b}|^{2}\).

Подставляем данные: \( |\vec{a}| = \sqrt{2} \), \( |\vec{b}| = 2 \), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 135^\circ = -2\).

Получаем:

\(\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 — (-2) — 8 = -4\).

Далее находим длины векторов:

\(|\vec{m}| = \sqrt{2 + 2 \times (-2) + 4} = \sqrt{2}\),

\(|\vec{n}| = \sqrt{2 — 4 \times (-2) + 16} = \sqrt{26}\).

Угол между векторами вычисляем по формуле:

\(\cos \theta = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{-4}{\sqrt{2} \times \sqrt{26}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}\).

Следовательно,

\(\theta = \arccos \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right) = 180^\circ — \arccos \frac{2\sqrt{13}}{13}\).

1. Для начала вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). По определению, \( \vec{a} = \vec{m} — \vec{n} \) и \( \vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} \), следовательно, их скалярное произведение равно \( (\vec{m} — \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) \). Раскроем скобки, получим сумму четырёх произведений: \( \vec{m} \cdot \vec{m} + 2\vec{m} \cdot \vec{n} — \vec{n} \cdot \vec{m} — 2\vec{n} \cdot \vec{n} \). Учитывая, что скалярное произведение коммутативно, \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \), выражение упрощается до \( |\vec{m}|^{2} + \vec{m} \cdot \vec{n} — 2|\vec{n}|^{2} \).

2. Теперь подставим известные значения: \( |\vec{m}| = 1 \), значит \( |\vec{m}|^{2} = 1 \); \( |\vec{n}| = \sqrt{3} \), значит \( |\vec{n}|^{2} = 3 \). Для вычисления \( \vec{m} \cdot \vec{n} \) используем формулу скалярного произведения через угол: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos 30^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \). Подставляя в выражение для скалярного произведения, получаем \( 1 + \frac{3}{2} — 2 \cdot 3 = 1 + \frac{3}{2} — 6 = -\frac{7}{2} \).

3. Далее вычислим длины векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Для \( \vec{a} = \vec{m} — \vec{n} \) длина равна \( |\vec{a}| = \sqrt{|\vec{m}|^{2} — 2 \vec{m} \cdot \vec{n} + |\vec{n}|^{2}} = \sqrt{1 — 2 \cdot \frac{3}{2} + 3} = \sqrt{1 — 3 + 3} = 1 \). Для \( \vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} \) длина равна \( |\vec{b}| = \sqrt{|\vec{m}|^{2} + 4 \vec{m} \cdot \vec{n} + 4 |\vec{n}|^{2}} = \sqrt{1 + 4 \cdot \frac{3}{2} + 12} = \sqrt{1 + 6 + 12} = \sqrt{19} \).

4. Теперь найдём косинус угла между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) по формуле: \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-\frac{7}{2}}{1 \cdot \sqrt{19}} = -\frac{7 \sqrt{19}}{38} \). Отрицательное значение косинуса указывает на то, что угол \( \theta \) является тупым.

5. Итоговый угол между векторами равен \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{2\sqrt{13}}{13} \). Этот результат учитывает отрицательный знак косинуса и даёт величину угла между векторами в градусах.