ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение \( (2\vec{a} — 3\vec{b})(\vec{a} — 2\vec{b}) \), если \( \vec{a} = (2; -1; -2), \vec{b} = (4; -3; 2) \).

Даны векторы \( \vec{a} = (2, -1, -2) \) и \( \vec{b} = (4, -3, 2) \). Нужно вычислить скалярное произведение \( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) \).

Раскрываем скобки по свойствам скалярного произведения:
\( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} — 4\vec{a} \cdot \vec{b} — 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 6\vec{b} \cdot \vec{b} \).

Вычисляем скалярные произведения:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 \),
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 = 7 \),
\( \vec{b} \cdot \vec{b} = 4^2 + (-3)^2 + 2^2 = 29 \).

Подставляем значения:
\( 2 \cdot 9 — 4 \cdot 7 — 3 \cdot 7 + 6 \cdot 29 = 18 — 28 — 21 + 174 = 143 \).

Даны векторы \( \vec{a} = (2, -1, -2) \) и \( \vec{b} = (4, -3, 2) \). Нужно найти скалярное произведение выражения \( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) \). Для начала раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения, которое является линейным по каждому аргументу. Это означает, что скалярное произведение суммы векторов равно сумме скалярных произведений, а умножение вектора на число можно выносить за скалярное произведение. Таким образом, можно представить выражение как сумму четырёх скалярных произведений: \( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} — 4\vec{a} \cdot \vec{b} — 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 6\vec{b} \cdot \vec{b} \).

Теперь вычислим каждое из скалярных произведений по отдельности. Скалярное произведение вектора с самим собой даёт квадрат длины этого вектора, то есть сумму квадратов его компонент. Для \( \vec{a} \cdot \vec{a} \) это будет \( 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \). Для скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) перемножаем соответствующие компоненты и суммируем: \( 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 = 8 + 3 — 4 = 7 \). Поскольку скалярное произведение коммутативно, \( \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \). Для \( \vec{b} \cdot \vec{b} \) считаем: \( 4^2 + (-3)^2 + 2^2 = 16 + 9 + 4 = 29 \).

Подставляя найденные значения в исходное выражение, получаем: \( 2 \cdot 9 — 4 \cdot 7 — 3 \cdot 7 + 6 \cdot 29 \). Вычислим поэтапно: \( 2 \cdot 9 = 18 \), \( -4 \cdot 7 = -28 \), \( -3 \cdot 7 = -21 \), \( 6 \cdot 29 = 174 \). Складываем полученные числа: \( 18 — 28 — 21 + 174 = (18 — 28) — 21 + 174 = -10 — 21 + 174 =\)
\(= -31 + 174 = 143 \). Таким образом, скалярное произведение равно \( 143 \), что является окончательным ответом.