ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \), если \( A = (3; -2; 1), B = (-1; 2; 1), C = (4; -1; 5), D = (1; 3; 0) \).

Найдём координаты векторов:
\(\overrightarrow{AB} = B — A = (-1 — 3; 2 — (-2); 1 — 1) = (-4; 4; 0)\)
\(\overrightarrow{CD} = D — C = (1 — 4; 3 — (-1); 0 — 5) = (-3; 4; -5)\)

Вычислим скалярное произведение:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4)(-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28\)

Вычислим длины векторов:
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Используем формулу косинуса угла:
\(\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{4 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

1. Сначала необходимо определить векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) находится как разность координат точки \(B\) и точки \(A\). Для этого вычитаем соответствующие координаты:
\(x\)-координата: \(-1 — 3 = -4\),
\(y\)-координата: \(2 — (-2) = 4\),
\(z\)-координата: \(1 — 1 = 0\).
Таким образом, \(\overrightarrow{AB} = (-4; 4; 0)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен разности координат точки \(D\) и точки \(C\):
\(x\)-координата: \(1 — 4 = -3\),
\(y\)-координата: \(3 — (-1) = 4\),
\(z\)-координата: \(0 — 5 = -5\).
Получаем \(\overrightarrow{CD} = (-3; 4; -5)\).

2. Далее вычисляем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4)(-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28\).
Это значение показывает, насколько векторы направлены друг относительно друга.

3. Теперь найдём длины (модули) векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Длина вектора вычисляется по формуле:
\(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\).
Для \(\overrightarrow{AB}\):
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).
Для \(\overrightarrow{CD}\):
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

4. Косинус угла между двумя векторами находится по формуле:
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\).
Подставляем найденные значения:
\(\cos(\theta) = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{4 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0{,}7\).

5. Таким образом, косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равен \(0{,}7\). Это означает, что угол между ними острый и достаточно небольшой, так как косинус угла близок к единице.