ГДЗ Мерзляк 11 Класс по Геометрии Углубленный Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Углубленный Уровень

11 класс Углубленный Уровень Учебник Мерзляк

11 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б.

Год

2020

Издательство

Вентана-Граф

Описание

Учебник «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского — это современное и тщательно продуманное пособие, предназначенное для школьников, изучающих геометрию на профильном уровне. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 11 класса, обеспечивая глубокое и системное понимание предмета.

ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Задача

Вершинами треугольника являются точки \( A = (1; 0; 1), B = (-5; 4; 3) \) и \( C = (0; 3; -1) \). Найдите угол \( A \) треугольника.

Краткий ответ:

Сначала находим векторы \( \overrightarrow{AB} = (-6; 4; 2) \) и \( \overrightarrow{AC} = (-1; 3; -2) \) вычитанием координат.

Далее вычисляем скалярное произведение: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 14 \) и длины векторов: \( |\overrightarrow{AB}| = 2 \sqrt{14} \), \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{14} \).

Используем формулу косинуса угла: \( \cos \angle BAC = \frac{14}{2 \sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{2} \), значит угол \( \angle BAC = 60^\circ \).

Подробный ответ:

1. Для нахождения угла при вершине \( A \) треугольника с координатами точек \( A = (1; 0; 1) \), \( B = (-5; 4; 3) \), \( C = (0; 3; -1) \) сначала вычислим векторы, исходящие из точки \( A \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) получается вычитанием координат точки \( A \) из координат точки \( B \): \( \overrightarrow{AB} = ( -5 — 1; 4 — 0; 3 — 1 ) = (-6; 4; 2) \). Аналогично вычисляем вектор \( \overrightarrow{AC} \): \( \overrightarrow{AC} = (0 — 1; 3 — 0; -1 — 1) = (-1; 3; -2) \).

2. Для определения угла между двумя векторами нужно найти их скалярное произведение и длины каждого из них. Скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) рассчитывается по формуле: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-6)(-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 6 + 12 — 4 = 14 \). Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2 \sqrt{14} \). Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) равна \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \).

3. Угол между векторами определяется по формуле косинуса угла: \( \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \). Подставляя значения, получаем: \( \cos \angle BAC = \frac{14}{2 \sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{2 \cdot 14} = \frac{1}{2} \). Значение \( \cos \angle BAC = \frac{1}{2} \) соответствует углу \( 60^\circ \), следовательно, угол при вершине \( A \) равен \( 60^\circ \).

Оцени решение