ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каким треугольником — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник с вершинами в точках \( A = (0; 1; 2), B = (-2; -1; 0) \) и \( C = (1; 0; 1) \)?

Вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} = B — A = (-2 — 0; -1 — 1; 0 — 2) = (-2; -2; -2)\),

\(\overrightarrow{AC} = C — A = (1 — 0; 0 — 1; 1 — 2) = (1; -1; -1)\).

Найдем скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = -2 + 2 + 2 = 2\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}\),

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\).

Косинус угла между векторами:

\(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{2}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).

Так как \(\cos \alpha > 0\), угол острый, следовательно треугольник остроугольный.

1. Для начала найдем координаты векторов, образованных сторонами треугольника. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) определяется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\):

\(\overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) = (-2 — 0; -1 — 1; 0 — 2) = (-2; -2; -2)\).

Аналогично находим вектор \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AC} = (x_C — x_A; y_C — y_A; z_C — z_A) = (1 — 0; 0 — 1; 1 — 2) = (1; -1; -1)\).

Эти векторы нам понадобятся для вычисления угла между сторонами треугольника.

2. Следующий шаг — вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Скалярное произведение векторов в трехмерном пространстве рассчитывается по формуле:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_{AB} \cdot x_{AC} + y_{AB} \cdot y_{AC} + z_{AB} \cdot z_{AC}\).

Подставляя значения, получаем:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = -2 + 2 + 2 = 2\).

Это значение будет использоваться для нахождения косинуса угла между векторами.

3. Теперь определим длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), которые равны модулям векторов. Длина вектора вычисляется по формуле:

\(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Для вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\).

Для вектора \(\overrightarrow{AC}\):

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\).

4. Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\),

подставляем найденные значения:

\(\cos \alpha = \frac{2}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).

Поскольку косинус угла положителен и меньше единицы, это означает, что угол между векторами острый, то есть меньше \(90^\circ\).

5. Поскольку угол между сторонами треугольника острый, то и весь треугольник \(ABC\) является остроугольным. Это значит, что все углы треугольника меньше прямого угла. Таким образом, треугольник с вершинами в точках \(A(0;1;2)\), \(B(-2;-1;0)\) и \(C(1;0;1)\) — остроугольный.