ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник с вершинами в точках \( A (1; 0; 2), B (-2; 4; 2) \) и \( C (3; 1; 0) \) является тупоугольным.

Вычислим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\( \overrightarrow{AB} = B — A = (-2 — 1; 4 — 0; 2 — 2) = (-3; 4; 0) \),

\( \overrightarrow{AC} = C — A = (3 — 1; 1 — 0; 0 — 2) = (2; 1; -2) \).

Найдем скалярное произведение:

\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = -6 + 4 + 0 = -2 \).

Вычислим длины векторов:

\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5 \),

\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \).

Найдем косинус угла между векторами:

\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-2}{5 \cdot 3} = -\frac{2}{15} \).

Так как \( \cos \theta < 0 \), угол между векторами тупой. Следовательно, треугольник \( ABC \) является тупоугольным.

1. Сначала определим векторы, которые образуют стороны треугольника. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) получается вычитанием координат точки \( A \) из координат точки \( B \): \( \overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) \). Подставляя значения, получаем \( \overrightarrow{AB} = (-2 — 1; 4 — 0; 2 — 2) = (-3; 4; 0) \). Аналогично находим вектор \( \overrightarrow{AC} \): \( \overrightarrow{AC} = (3 — 1; 1 — 0; 0 — 2) = (2; 1; -2) \). Эти векторы нам нужны для дальнейшего вычисления угла между сторонами треугольника.

2. Чтобы узнать, является ли угол между векторами острым, прямым или тупым, нужно найти косинус угла между ними. Для этого сначала вычислим скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \), которое определяется как сумма произведений соответствующих координат: \( (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = -6 + 4 + 0 = -2 \). Далее найдем длины векторов по формуле \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Для \( \overrightarrow{AB} \) длина равна \( \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5 \), а для \( \overrightarrow{AC} \) длина равна \( \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \).

3. Теперь вычисляем косинус угла между векторами по формуле \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \). Подставляя найденные значения, получаем \( \cos \theta = \frac{-2}{5 \cdot 3} = -\frac{2}{15} \). Поскольку косинус угла отрицателен, это означает, что угол между векторами больше 90 градусов, то есть он тупой. Следовательно, угол между сторонами треугольника \( ABC \) является тупым, и сам треугольник \( ABC \) — тупоугольным.