ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \( A (0; -1; 1), B (-2; 0; -1) \) и \( C (-2; -1; 0) \). Найдите на оси \( z \) такую точку \( D \), чтобы векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) были перпендикулярны.

Даны точки \( A(0; -1; 1) \), \( B(-2; 0; -1) \), \( C(-2; -1; 0) \), точка \( D(0; 0; z) \).

Векторы:
\(\overrightarrow{AC} = C — A = (-2 — 0; -1 + 1; 0 — 1) = (-2; 0; -1)\)
\(\overrightarrow{BD} = D — B = (0 + 2; 0 — 0; z + 1) = (2; 0; z + 1)\)

Условие перпендикулярности:
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\)

Скалярное произведение:
\((-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0\)

Вычисляем:
\(-4 + 0 — z — 1 = 0\)
\(-z — 5 = 0\)
\(z = -5\)

Ответ: \( D(0; 0; -5) \)

Дана точка \( D \) на оси \( z \) с координатами \( (0; 0; z) \), а также точки \( A(0; -1; 1) \), \( B(-2; 0; -1) \), \( C(-2; -1; 0) \). Нужно найти такое значение \( z \), чтобы векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) были перпендикулярны.

Сначала найдем координаты вектора \( \overrightarrow{AC} \). Для этого вычтем координаты точки \( A \) из координат точки \( C \):
\( \overrightarrow{AC} = (x_C — x_A; y_C — y_A; z_C — z_A) = (-2 — 0; -1 — (-1); 0 — 1) =\)
\(= (-2; 0; -1) \).
Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AC} \) направлен в сторону от \( A \) к \( C \) и имеет компоненты \( (-2; 0; -1) \).

Теперь найдем координаты вектора \( \overrightarrow{BD} \). Точка \( B \) имеет координаты \( (-2; 0; -1) \), а точка \( D \) — \( (0; 0; z) \). Значит,
\( \overrightarrow{BD} = (x_D — x_B; y_D — y_B; z_D — z_B) = (0 — (-2); 0 — 0; z — (-1))=\)
\( = (2; 0; z + 1) \).

Для того чтобы векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) были перпендикулярны, их скалярное произведение должно равняться нулю:
\( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \).

Вычислим скалярное произведение:
\( (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = -4 + 0 — z — 1 = -z — 5 \).
Приравниваем к нулю:
\( -z — 5 = 0 \).

Решая уравнение, получаем:
\( z = -5 \).

Таким образом, точка \( D \) на оси \( z \) с координатами \( (0; 0; -5) \) удовлетворяет условию перпендикулярности векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \).