ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \( A (2; -1; 4), B (5; 1; 0) \) и \( C (6; 1; 3) \). Найдите на оси \( y \) такую точку \( D \), чтобы векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) были перпендикулярны.

Вычислим вектор \(\overrightarrow{AB} = (5-2; 1+1; 0-4) = (3; 2; -4)\).

Точка \(D\) лежит на оси \(y\), значит \(D = (0; y; 0)\).

Вычислим вектор \(\overrightarrow{CD} = (0-6; y-1; 0-3) = (-6; y-1; -3)\).

Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю:

\((3)(-6) + (2)(y-1) + (-4)(-3) = 0\).

Раскроем скобки:

\(-18 + 2y — 2 + 12 = 0\).

Сложим числа:

\(-18 — 2 + 12 = -8\), значит:

\(2y — 8 = 0\).

Отсюда \\(2y = 8\), \(y = 4\)

Точка \(D\) на оси \(y\) имеет координаты \(D(0; 4; 0)\).

1. Для начала найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) определяется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\). Если \(A = (2; -1; 4)\), а \(B = (5; 1; 0)\), то координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) будут равны \((5 — 2; 1 — (-1); 0 — 4)\). Вычислим каждую координату: \(5 — 2 = 3\), \(1 — (-1) = 2\), \(0 — 4 = -4\). Таким образом, \(\overrightarrow{AB} = (3; 2; -4)\).

2. Точка \(D\) находится на оси \(y\), значит её координаты имеют вид \(D = (0; y; 0)\), где \(y\) — неизвестное число, которое нужно найти. Теперь найдем координаты вектора \(\overrightarrow{CD}\), где \(C = (6; 1; 3)\). Вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен разности координат точки \(D\) и точки \(C\), то есть \(\overrightarrow{CD} = (0 — 6; y — 1; 0 — 3) = (-6; y — 1; -3)\).

3. Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) должны быть перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) вычисляется по формуле \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2\). Подставим наши значения: \(3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y — 1) + (-4) \cdot (-3) = 0\). Раскроем скобки: \(-18 + 2y — 2 + 12 = 0\). Сложим числа: \(-18 — 2 + 12 = -8\), тогда уравнение примет вид \(2y — 8 = 0\). Решая его, получаем \(2y = 8\), откуда \(y = 4\). Следовательно, точка \(D\) на оси \(y\) имеет координаты \(D = (0; 4; 0)\).