ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если:

1) \( |\vec{a}| = 2\sqrt{3}, |\vec{b}| = 5, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ \);

2) \( |\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 7, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ \).

1) Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \).

2) Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 7 \cdot \cos 135^\circ = 28 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -14\sqrt{2} \).

1) Для нахождения скалярного произведения двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) используется формула \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \), где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними. В данном случае \( |\vec{a}| = 2\sqrt{3} \), \( |\vec{b}| = 5 \), а угол \( \theta = 30^\circ \). Чтобы найти скалярное произведение, сначала нужно вычислить косинус угла \( 30^\circ \), который равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставляем значения в формулу: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Сначала перемножаем числа: \( 2 \cdot 5 = 10 \), затем умножаем на корни: \( \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \). В итоге получается \( 10 \cdot \frac{3}{2} = 15 \).

Таким образом, скалярное произведение равно \( 15 \). Это число показывает, насколько векторы направлены друг к другу и как их длины влияют на произведение.

2) Снова используем формулу скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \). Здесь \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 7 \), а угол \( \theta = 135^\circ \). Косинус угла \( 135^\circ \) равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) из-за того, что угол больше \( 90^\circ \), и векторы направлены в разные стороны.

Подставляем значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). Умножаем числа: \( 4 \cdot 7 = 28 \), затем умножаем на косинус: \( 28 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -14\sqrt{2} \).

Итоговое значение скалярного произведения — \( -14\sqrt{2} \). Отрицательное значение показывает, что угол между векторами больше \( 90^\circ \), и они направлены в противоположные стороны.