ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что \( \vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n}, \vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n} \). Найдите угол между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \), если \( \vec{a} \perp \vec{b}, |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \).

Дано: \( \vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n} \), \( \vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n} \), \( \vec{a} \perp \vec{b} \), \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \).

Так как \( \vec{a} \perp \vec{b} \), то \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). Вычисляем скалярное произведение: \( (4\vec{m} — 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0 \).

Раскроем скобки: \( 8 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 5 = 0 \), что упрощается до \( 3 — 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0 \).

Отсюда \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{1}{2} \). Поскольку \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \cos \theta \), получаем \( \cos \theta = \frac{1}{2} \), значит угол между векторами \( \theta = 60^\circ \).

1. Дано два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), выраженные через векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \): \( \vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n} \) и \( \vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n} \). Из условия известно, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны, то есть угол между ними равен \( 90^\circ \). По свойству скалярного произведения двух векторов, если они перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

2. Для вычисления скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) подставим выражения для \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \( (4\vec{m} — 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) \). Раскроем скобки, применяя дистрибутивное свойство: \( 4\vec{m} \cdot 2\vec{m} + 4\vec{m} \cdot \vec{n} — 5\vec{n} \cdot 2\vec{m} — 5\vec{n} \cdot \vec{n} \). Упростим каждое слагаемое: \( 8(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{n} \cdot \vec{m}) — 5(\vec{n} \cdot \vec{n}) \).

3. Известно, что длины векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равны 1, то есть \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \). Это значит, что \( \vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1 \) и \( \vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 1 \). Также скалярное произведение коммутативно, следовательно, \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \). Подставим эти значения в уравнение: \( 8 \cdot 1 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 5 \cdot 1 = 0 \), что упрощается до \( 8 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 5 = 0 \).

4. Соберём подобные слагаемые: \( 8 — 5 + (4 — 10)(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0 \), то есть \( 3 — 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0 \). Отсюда получаем уравнение \( 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 3 \), следовательно, \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

5. Скалярное произведение двух единичных векторов связано с углом между ними формулой \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta = \cos \theta \), так как длины равны 1. Значит, \( \cos \theta = \frac{1}{2} \). Угол \( \theta \), удовлетворяющий этому условию, равен \( 60^\circ \). Таким образом, угол между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равен \( 60^\circ \).