ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что \( \vec{m} = 2\vec{a} — \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} — 3\vec{b} \). Найдите угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если \( \vec{m} \perp \vec{n}, |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{2} \).

Векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны, значит \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \).

Подставляем: \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 3\vec{b}) = 0 \).

Раскрываем скалярное произведение: \( 2\vec{a} \cdot \vec{a} — 6\vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), получаем: \( 2|\vec{a}|^2 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0 \).

Подставляем длины: \( 2 \cdot 2^2 — 7 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cos \theta + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0 \).

Упрощаем: \( 8 — 14 \sqrt{2} \cos \theta + 6 = 0 \), или \( 14 — 14 \sqrt{2} \cos \theta = 0 \).

Отсюда \( \cos \theta = \frac{14}{14 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Значит угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 45^\circ \).

1. Даны векторы \( \vec{m} = 2\vec{a} — \vec{b} \) и \( \vec{n} = \vec{a} — 3\vec{b} \), причём они перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \). Скалярное произведение двух векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих компонент, но здесь удобнее использовать свойства линейности и коммутативности скалярного произведения. Подставим выражения для \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) в формулу: \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 3\vec{b}) = 0 \).

2. Раскроем скобки с помощью дистрибутивного свойства скалярного произведения: \( 2\vec{a} \cdot \vec{a} — 6\vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \). Поскольку скалярное произведение коммутативно, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), поэтому можно объединить члены: \( 2|\vec{a}|^{2} — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^{2} = 0 \). Здесь \( |\vec{a}|^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a} \), а \( |\vec{b}|^{2} = \vec{b} \cdot \vec{b} \).

3. Подставим известные длины векторов: \( |\vec{a}| = 2 \) и \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \). Тогда уравнение принимает вид: \( 2 \cdot 2^{2} — 7 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cos \theta + 3 \cdot (\sqrt{2})^{2} = 0 \), где \( \theta \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), а \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \). Упростим: \( 8 — 14 \sqrt{2} \cos \theta + 6 = 0 \). Сложим числа: \( 14 — 14 \sqrt{2} \cos \theta = 0 \).

4. Выразим косинус угла: \( 14 \sqrt{2} \cos \theta = 14 \), откуда \( \cos \theta = \frac{14}{14 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Значение \( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \) соответствует углу \( \theta = 45^\circ \). Таким образом, угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 45^\circ \).