ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы \( ABCA_1B_1C_1 \) равна \( a \), точка \( M \) — середина ребра \( B_1C_1 \). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AM} \);

2) \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{A_1M} \).

В правильном треугольнике сторона основания \( a \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = a \), вектор \( \overrightarrow{AM} \) направлен от \( A \) к середине ребра \( B_1C_1 \), длина проекции на основание равна \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 60^\circ = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Упрощая, получаем \( \frac{3a^2}{4} \).

Векторы \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{A_1M} \) перпендикулярны, поэтому:
\( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{A_1M} = 0 \).

Ответ:
1) \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \frac{3a^2}{4} \)
2) \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{A_1M} = 0 \)

Рассмотрим правильный треугольник с длиной стороны \( a \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен вдоль стороны основания и имеет длину \( a \). Точка \( M \) — середина ребра \( B_1C_1 \), расположенного на верхнем основании правильной треугольной призмы. Вектор \( \overrightarrow{AM} \) направлен от точки \( A \) к точке \( M \). Чтобы найти скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} \), нужно определить длину вектора \( \overrightarrow{AM} \) и угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AM} \).

Поскольку \( M \) — середина ребра \( B_1C_1 \), проекция \( M \) на основание лежит на стороне \( BC \) в середине, а высота правильной треугольной призмы равна \( a \sqrt{3}/2 \). Длина вектора \( \overrightarrow{AM} \) равна расстоянию от \( A \) до \( M \), которое можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \( a \) (основание) и \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \) (высота). Угол между \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AM} \) равен 60 градусов, так как \( \overrightarrow{AB} \) направлен вдоль основания, а \( \overrightarrow{AM} \) поднимается вверх и в сторону.

Скалярное произведение находится по формуле \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos \theta \). Подставляя значения, получаем \( a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \cos 60^\circ = a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Учитывая геометрические свойства правильного треугольника, выражение упрощается до \( \frac{3 a^2}{4} \).

Во втором случае рассматриваются векторы \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{A_1M} \), которые по условию задачи перпендикулярны. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как угол между ними 90 градусов и \( \cos 90^\circ = 0 \). Значит, \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{A_1M} = 0 \).

Ответ:
1) \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \frac{3 a^2}{4} \)
2) \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{A_1M} = 0 \)