ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \( M \) — середина ребра \( AA_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Найдите угол между прямыми \( BM \) и \( BC_1 \).

Пусть длина ребра куба равна 1. Тогда \( M \) — середина ребра \( AA_1 \) с координатами \( \left(0,0,\frac{1}{2}\right) \), \( B = (1,0,0) \), \( C_1 = (1,1,1) \).

Векторы:
\( BM = M — B = (-1,0,\frac{1}{2}) \),
\( BC_1 = C_1 — B = (0,1,1) \).

Скалярное произведение:
\( BM \cdot BC_1 = -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \).

Длины векторов:
\( |BM| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \),
\( |BC_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

Косинус угла:
\( \cos \theta = \frac{BM \cdot BC_1}{|BM| \cdot |BC_1|} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Ответ: угол между прямыми \( BM \) и \( BC_1 \) равен \( \arccos \frac{\sqrt{10}}{10} \).

Пусть длина ребра куба равна 1 для удобства вычислений. Рассмотрим координаты вершин куба: \( A = (0,0,0) \), \( B = (1,0,0) \), \( C = (1,1,0) \), \( A_1 = (0,0,1) \), \( C_1 = (1,1,1) \). Точка \( M \) — середина ребра \( AA_1 \), значит её координаты будут равны средней точке между \( A \) и \( A_1 \), то есть \( M = \left(0,0,\frac{1}{2}\right) \).

Теперь найдём векторы, задающие прямые \( BM \) и \( BC_1 \). Вектор \( BM \) вычисляется как разность координат точки \( M \) и точки \( B \):
\( BM = M — B = \left(0 — 1, 0 — 0, \frac{1}{2} — 0\right) = (-1, 0, \frac{1}{2}) \).
Вектор \( BC_1 \) равен разности координат \( C_1 \) и \( B \):
\( BC_1 = C_1 — B = (1 — 1, 1 — 0, 1 — 0) = (0, 1, 1) \).

Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу косинуса угла:
\(\cos \theta = \frac{BM \cdot BC_1}{|BM| \cdot |BC_1|}\),
где \( BM \cdot BC_1 \) — скалярное произведение векторов, а \( |BM| \) и \( |BC_1| \) — их длины. Скалярное произведение:
\( BM \cdot BC_1 = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \).
Длина вектора \( BM \) равна
\( |BM| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
Длина вектора \( BC_1 \) равна
\( |BC_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

Подставляем значения в формулу косинуса:
\(\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \).
Таким образом, угол между прямыми \( BM \) и \( BC_1 \) равен
\(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}} = \arccos \frac{\sqrt{10}}{10}\).