ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точки \( M \) и \( K \) — соответственно середины рёбер \( AA_1 \) и \( AD \), точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \). Докажите, что прямые \( B_1K \) и \( MO \) перпендикулярны.

Рассмотрим координаты точек в кубе с ребром длины \( a \): \( M(0,0,\frac{a}{2}) \), \( K(0,\frac{a}{2},0) \), \( B_1(a,0,a) \), \( O(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}) \).

Вычислим векторы направлений прямых: \( \overrightarrow{B_1K} = (-a, \frac{a}{2}, -a) \) и \( \overrightarrow{MO} = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right) \).

Найдем скалярное произведение: \( (-a) \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot a + (-a) \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0 \).

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые \( B_1K \) и \( MO \) перпендикулярны.

Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра \( a \). Для удобства примем точку \( A \) за начало координат системы, а оси направим вдоль рёбер куба: \( x \) вдоль \( AB \), \( y \) вдоль \( AD \), \( z \) вдоль \( AA_1 \). Тогда координаты вершин куба будут: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \), \( A_1(0,0,a) \), \( B_1(a,0,a) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \).

Точки \( M \) и \( K \) заданы как середины рёбер \( AA_1 \) и \( AD \) соответственно. Значит координаты этих точек: \( M \) — середина \( AA_1 \), то есть \( M\left(0,0,\frac{a}{2}\right) \), а \( K \) — середина \( AD \), то есть \( K\left(0,\frac{a}{2},0\right) \). Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \). Рассмотрим эту грань: она состоит из точек \( C(a,a,0) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \), \( D(0,a,0) \). Центр грани — это среднее арифметическое координат её вершин, то есть \( O\left(\frac{a+a+0+0}{4}, \frac{a+a+a+a}{4}, \frac{0+a+a+0}{4}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \).

Теперь вычислим векторы, задающие прямые \( B_1K \) и \( MO \). Вектор \( \overrightarrow{B_1K} = K — B_1 = \left(0 — a, \frac{a}{2} — 0, 0 — a\right) = (-a, \frac{a}{2}, -a) \). Вектор \( \overrightarrow{MO} = O — M = \left(\frac{a}{2} — 0, a — 0, \frac{a}{2} — \frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right) \).

Для проверки перпендикулярности двух прямых достаточно проверить, что их направляющие векторы ортогональны, то есть скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение:

\( \overrightarrow{B_1K} \cdot \overrightarrow{MO} = (-a) \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot a + (-a) \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0 \).

Так как скалярное произведение равно нулю, это доказывает, что прямые \( B_1K \) и \( MO \) перпендикулярны. Таким образом, угол между ними равен \( 90^\circ \).

Ответ: \( \angle (B_1K, MO) = 90^\circ \).