ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \( DABC \) является равнобедренный треугольник \( ABC \), \( AB = BC \), \( \angle DBA = \angle DBC \). Докажите, что \( BD \perp AC \).

Основание пирамиды \(DABC\) — равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = BC\).

Дано: \(\angle DBA = \angle DBC\).

Докажем, что \(BD \perp AC\).

В треугольнике \(BDC\) отрезок \(BO\) является биссектрисой угла \(DBC\) (по условию \( \angle DBA = \angle DBC \)).

Так как \(AB = BC\), то \(BO\) — также медиана и высота.

Следовательно, \(BD \perp AC\), что и требовалось доказать.

Основанием пирамиды \(DABC\) является равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB = BC\). По условию, углы при вершине \(B\), образованные с точкой \(D\), равны: \(\angle DBA = \angle DBC\). Это значит, что луч \(BD\) делит угол при вершине \(B\) на две равные части, то есть \(BD\) является биссектрисой угла \(ABC\).

Пусть точка \(O\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на сторону \(AC\). Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\), то высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины \(B\), совпадают. Следовательно, биссектриса \(BO\) одновременно является и высотой, и медианой. Из этого следует, что \(BO\) перпендикулярна \(AC\), то есть \(BO \perp AC\).

Так как \(BD\) лежит на биссектрисе угла \(ABC\) и является высотой, то \(BD \perp AC\). Таким образом, мы доказали, что отрезок \(BD\) перпендикулярен основанию \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\), что и требовалось.