ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( M \) и \( N \) — соответственно середины рёбер \( AA_1 \) и \( AD \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \). Докажите, что прямые \( MO \) и \( B_1N \) перпендикулярны.

Точки \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( AA_1 \) и \( AD \), значит \( M = \frac{A + A_1}{2} \), \( N = \frac{A + D}{2} \).

Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \), значит \( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} \).

Векторы \( \overrightarrow{MO} = O — M \) и \( \overrightarrow{B_1N} = N — B_1 \).

Вычислим скалярное произведение: \( \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{B_1N} = 0 \).

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые \( MO \) и \( B_1N \) перпендикулярны.

Пусть длина ребра куба равна 1. Координаты точек: \( A(0,0,0) \), \( A_1(0,0,1) \), \( D(1,0,0) \), \( B_1(1,1,1) \), \( C(1,1,0) \), \( C_1(1,1,1) \), \( D_1(1,0,1) \).

Точка \( M \) — середина ребра \( AA_1 \), значит \( M = \left(0,0,\frac{1}{2}\right) \).

Точка \( N \) — середина ребра \( AD \), значит \( N = \left(\frac{1}{2},0,0\right) \).

Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \), значит \( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} = \left(1,1,\frac{1}{2}\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{MO} = O — M = \left(1,1, \frac{1}{2}\right) — \left(0,0,\frac{1}{2}\right) = (1,1,0) \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1N} = N — B_1 = \left(\frac{1}{2},0,0\right) — (1,1,1) = \left(-\frac{1}{2}, -1, -1\right) \).

Вычислим скалярное произведение:

\( \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{B_1N} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = -\frac{1}{2} — 1 + 0 = -\frac{3}{2} \neq 0 \).

Проверим правильность вычислений. Возможно, нужно взять другой порядок вычитания для вектора \( \overrightarrow{B_1N} \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1N} = B_1 — N = (1,1,1) — \left(\frac{1}{2},0,0\right) = \left(\frac{1}{2},1,1\right) \).

Тогда скалярное произведение:

\( \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{B_1N} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 1 + 0 = \frac{3}{2} \neq 0 \).

Проверим вектор \( \overrightarrow{MO} \) с другим направлением: \( \overrightarrow{OM} = M — O = (0,0,\frac{1}{2}) — (1,1,\frac{1}{2}) = (-1,-1,0) \).

Тогда

\( \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{B_1N} = (-1) \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2} — 1 + 0 = -\frac{3}{2} \neq 0 \).

Проверим вектор \( \overrightarrow{NB_1} = B_1 — N = (1,1,1) — \left(\frac{1}{2},0,0\right) = \left(\frac{1}{2},1,1\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{MO} = (1,1,0) \).

Скалярное произведение:

\( \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{NB_1} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2} \neq 0 \).

Это противоречит условию, значит нужно проверить исходные координаты.

Пусть \( A(0,0,0) \), \( B(1,0,0) \), \( C(1,1,0) \), \( D(0,1,0) \), \( A_1(0,0,1) \), \( B_1(1,0,1) \), \( C_1(1,1,1) \), \( D_1(0,1,1) \).

Тогда

\( M = \frac{A + A_1}{2} = \left(0,0,\frac{1}{2}\right) \),

\( N = \frac{A + D}{2} = \left(0,\frac{1}{2},0\right) \),

\( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} = \frac{(1,1,0) + (1,1,1) + (0,1,1) + (0,1,0)}{4} =\)
\(= \left(\frac{1+1+0+0}{4}, \frac{1+1+1+1}{4}, \frac{0+1+1+0}{4}\right) = \left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{MO} = O — M = \left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right) — \left(0,0,\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2},1,0\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1N} = N — B_1 = \left(0,\frac{1}{2},0\right) — (1,0,1) = (-1, \frac{1}{2}, -1) \).

Скалярное произведение:

\( \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{B_1N} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 0 \).

Следовательно, \( MO \perp B_1N \).

Так как угол между прямыми равен \( 90^\circ \), то \( \angle (MO, B_1N) = 90^\circ \), что и требовалось доказать.