ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \), если \( |\vec{m}| = 2, |\vec{n}| = 1, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 120^\circ \).

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \angle(\vec{m}, \vec{n})\).

Подставляем данные:
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).

Ответ: \(-1\).

1. Скалярное произведение двух векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) определяется как произведение их длин и косинуса угла между ними. Формула выглядит так:
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \angle(\vec{m}, \vec{n})\).
Это означает, что чтобы найти скалярное произведение, нужно знать длины векторов и угол между ними.

2. В условии задачи даны: длина вектора \( \vec{m} \) равна 2, длина вектора \( \vec{n} \) равна 1, а угол между ними равен \( 120^\circ \). Подставим эти значения в формулу:
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ\).
Далее нужно вычислить косинус угла \( 120^\circ \). Из тригонометрии известно, что
\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), так как угол \( 120^\circ \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен.

3. Подставляя значение косинуса в выражение, получаем:
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).
Таким образом, скалярное произведение равно \(-1\). Отрицательное значение указывает на то, что угол между векторами больше \( 90^\circ \), то есть векторы направлены в основном в разные стороны.