ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \( AB, AD \) и \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) относятся как 3 : 1 : 2. На рёбрах \( AB \) и \( BC \) соответственно отметили точки \( M \) и \( N \) так, что \( AM : MB = 1 : 2 \) и \( BN : NC = 1 : 1 \). Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \). Докажите, что прямые \( MO \) и \( A_1N \) перпендикулярны.

Рассмотрим параллелепипед с рёбрами \(AB = 3a\), \(AD = a\), \(AA_1 = 2a\).

Точки \(M\) и \(N\) имеют координаты:
\(M = (a, 0, 0)\), так как \(AM : MB = 1 : 2\).
\(N = (3a, \frac{a}{2}, 0)\), так как \(BN : NC = 1 : 1\).

Точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\), значит
\(O = \left(\frac{3a + 3a + 0 + 0}{4}, a, \frac{0 + 2a + 2a + 0}{4}\right) = \left(\frac{3a}{2}, a, a\right)\).

Векторы:
\(MO = O — M = \left(\frac{a}{2}, a, a\right)\),
\(A_1N = N — A_1 = (3a, \frac{a}{2}, -2a)\).

Скалярное произведение:
\((MO) \cdot (A_1N) = \frac{a}{2} \cdot 3a + a \cdot \frac{a}{2} + a \cdot (-2a) = \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2}{2} — 2a^2 = 0\).

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые \(MO\) и \(A_1N\) перпендикулярны.

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(AB = 3a\), \(AD = a\), \(AA_1 = 2a\). Выберем систему координат с началом в точке \(A\), ось \(x\) вдоль \(AB\), ось \(y\) вдоль \(AD\), ось \(z\) вдоль \(AA_1\). Тогда координаты вершин:
\(A(0,0,0)\),
\(B(3a,0,0)\),
\(C(3a,a,0)\),
\(D(0,a,0)\),
\(A_1(0,0,2a)\),
\(B_1(3a,0,2a)\),
\(C_1(3a,a,2a)\),
\(D_1(0,a,2a)\).

2. Найдём координаты точки \(M\) на ребре \(AB\), где \(AM : MB = 1 : 2\). Длина ребра \(AB = 3a\), значит \(AM = a\). Тогда
\(M = (a, 0, 0)\).

3. Найдём координаты точки \(N\) на ребре \(BC\), где \(BN : NC = 1 : 1\), то есть \(N\) — середина ребра \(BC\). Координаты:
\(B(3a, 0, 0)\),
\(C(3a, a, 0)\),
значит
\(N = \left(3a, \frac{a}{2}, 0\right)\).

4. Точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\). Эта грань — прямоугольник с вершинами
\(C(3a,a,0)\),
\(C_1(3a,a,2a)\),
\(D_1(0,a,2a)\),
\(D(0,a,0)\).
Координаты центра грани — среднее арифметическое координат вершин:
\(O = \left(\frac{3a + 3a + 0 + 0}{4}, a, \frac{0 + 2a + 2a + 0}{4}\right) = \left(\frac{3a}{2}, a, a\right)\).

5. Найдём вектор \(MO\):
\(MO = O — M = \left(\frac{3a}{2} — a, a — 0, a — 0\right) = \left(\frac{a}{2}, a, a\right)\).

6. Найдём вектор \(A_1N\):
\(A_1(0,0,2a)\),
\(N(3a, \frac{a}{2}, 0)\),
значит
\(A_1N = N — A_1 = (3a, \frac{a}{2}, -2a)\).

7. Проверим ортогональность векторов \(MO\) и \(A_1N\) через скалярное произведение:
\((MO) \cdot (A_1N) = \frac{a}{2} \cdot 3a + a \cdot \frac{a}{2} + a \cdot (-2a) = \frac{3a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2} — 2a^{2} = 0\).

8. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \(MO\) и \(A_1N\) перпендикулярны.

9. Следовательно, прямые \(MO\) и \(A_1N\), на которых лежат эти векторы, тоже перпендикулярны.

10. Ответ: прямые \(MO\) и \(A_1N\) перпендикулярны.