ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы \( ABCA_1B_1C_1 \) соответственно равны 2 см и 5 см. Точка \( K \) — середина ребра \( BC \). Найдите расстояние от точки \( C \) до центроида тетраэдра \( KBAB_1 \).

Пусть \(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=\left(1,\sqrt{3},0\right)\), высота призмы \(5\) см, тогда \(B_1=(2,0,5)\).

Точка \(K\) — середина \(BC\), значит \(K=\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Центроид тетраэдра \(KBAB_1\) вычисляется как среднее арифметическое координат вершин: \(G=\left(\frac{11}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4}\right)\).

Расстояние от \(C\) до \(G\) равно \(d=\sqrt{\left(1-\frac{11}{8}\right)^2 + \left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(0-\frac{5}{4}\right)^2} = 2\).

Ответ: \(2\) см.

1. Рассмотрим правильную треугольную призму \(ABCA_1B_1C_1\) с основанием равносторонним треугольником со стороной 2 см и высотой призмы 5 см. Пусть вершина \(A\) находится в начале координат, тогда:

\(A = (0,0,0)\),

\(B = (2,0,0)\),

\(C = \left(1, \sqrt{3}, 0\right)\).

2. Точка \(K\) — середина ребра \(BC\), значит её координаты вычисляются как среднее арифметическое координат точек \(B\) и \(C\):

\(K = \left(\frac{2+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

3. Верхняя точка \(B_1\) соответствует вершине \(B\), поднятой на высоту призмы 5 см, значит:

\(B_1 = (2, 0, 5)\).

4. Центроид тетраэдра \(KBAB_1\) — это точка, координаты которой равны среднему арифметическому координат вершин:

\(G = \frac{1}{4}(K + B + A + B_1) = \frac{1}{4}\left(\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) + (2,0,0) + (0,0,0) + (2,0,5)\right)\).

5. Сложим координаты по каждой оси:

По оси \(x\): \(\frac{3}{2} + 2 + 0 + 2 = \frac{3}{2} + 4 = \frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{11}{2}\).

По оси \(y\): \(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + 0 + 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

По оси \(z\): \(0 + 0 + 0 + 5 = 5\).

6. Делим каждую сумму на 4:

\(G = \left(\frac{11}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4}\right)\).

7. Найдём расстояние от точки \(C = \left(1, \sqrt{3}, 0\right)\) до центроида \(G\):

\(d = \sqrt{\left(1 — \frac{11}{8}\right)^2 + \left(\sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(0 — \frac{5}{4}\right)^2}\).

8. Вычислим каждое слагаемое:

\(\left(1 — \frac{11}{8}\right) = \frac{8}{8} — \frac{11}{8} = -\frac{3}{8}\),

\(\left(\sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \sqrt{3}\left(1 — \frac{1}{8}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{8}\),

\(\left(0 — \frac{5}{4}\right) = -\frac{5}{4}\).

9. Подставим в формулу расстояния:

\(d = \sqrt{\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{49 \cdot 3}{64} + \frac{25}{16}}\).

10. Упростим выражение под корнем:

\(\frac{9}{64} + \frac{147}{64} + \frac{25}{16} = \frac{156}{64} + \frac{25 \cdot 4}{64} = \frac{156}{64} + \frac{100}{64} = \frac{256}{64} = 4\).

11. Значит, расстояние:

\(d = \sqrt{4} = 2\).

Ответ: расстояние от точки \(C\) до центроида тетраэдра \(KBAB_1\) равно \(2\) см.