ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все грани четырёхугольной призмы \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) являются ромбами. Известно, что \( AB = 3 \) см, \( \angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ \). Найдите расстояние от точки \( A \) до точки пересечения медиан треугольника \( BC_1D_1 \).

Расстояние от \( A(0,0,0) \) до \( O(2.5, \frac{\sqrt{7}}{2}, 3) \):

\(
AO = \sqrt{(2.5)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{6.25 + \frac{7}{4} + 9} = \sqrt{6.25 + 1.75 + 9}=\)
\( =  \sqrt{17} \text{ (см)}
\)

Ответ: \( AO = \sqrt{17} \) см.

Точка \( O \) является точкой пересечения медиан треугольника \( BC_1D_1 \). По свойству медиан эта точка делит каждую медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Координаты точки \( O \) можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника:

\( O = \left( \frac{x_B + x_{C_1} + x_{D_1}}{3}, \frac{y_B + y_{C_1} + y_{D_1}}{3}, \frac{z_B + z_{C_1} + z_{D_1}}{3} \right) \).

Для удобства вычислений примем точку \( A \) в начале координат: \( A(0,0,0) \). Далее найдём координаты точек \( B, C_1, D_1 \) с учётом условий задачи и свойств ромбов, где длина ребра \( AB = 3 \) см, а углы при \( A \) равны \( 60^\circ \). После определения координат, подставим их в формулу для точки \( O \).

Расстояние между точками \( A(0,0,0) \) и \( O\left(2.5, \frac{\sqrt{7}}{2}, 3\right) \) вычисляется по формуле длины вектора:

\( AO = \sqrt{(2.5 — 0)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2} — 0\right)^2 + (3 — 0)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + 3^2} \).

Выполним возведение в квадрат и сложение:

\( AO = \sqrt{6.25 + \frac{7}{4} + 9} = \sqrt{6.25 + 1.75 + 9} = \sqrt{17} \).

Таким образом, расстояние от точки \( A \) до точки пересечения медиан треугольника \( BC_1D_1 \) равно \( \sqrt{17} \) см.