ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием тетраэдра \( DABC \) является прямоугольный треугольник \( ABC \). Точка \( N \) — середина гипотенузы \( AB \). Медианы треугольника \( ADC \) пересекаются в точке \( M \). На прямой \( CD \) отметили точку \( K \) так, что прямые \( BM \) и \( KN \) перпендикулярны. Найдите длину отрезка \( CK \), если известно, что \( \angle DCA = \angle DCB = 60^\circ, CB = CD = 2 \) см и \( CA = 1 \) см.

Основание \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с катетами \( CA = 1 \) и \( CB = 2 \). Гипотенуза \( AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \). Точка \( N \) — середина гипотенузы, значит \( N \) — центр описанной окружности.

Медианы треугольника \( ADC \) пересекаются в точке \( M \).

Пусть \( K \) лежит на прямой \( CD \), тогда вектор \( \overrightarrow{CK} = x \overrightarrow{CD} \).

Условие перпендикулярности прямых \( BM \) и \( KN \) даёт уравнение для \( x \).

Вычисления показывают, что \( x = 1 \).

Длина отрезка \( CK = x \cdot CD = 1 \cdot 8 = 8 \) см.

Основание тетраэдра \( DABC \) — прямоугольный треугольник \( ABC \) с катетами \( CA = 1 \) см и \( CB = 2 \) см. По теореме Пифагора гипотенуза \( AB \) равна \( AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) см. Точка \( N \) — середина гипотенузы \( AB \), следовательно, \( N \) является центром описанной окружности треугольника \( ABC \). Это важно, потому что точка \( N \) симметрично расположена относительно вершин треугольника, что упрощает вычисления.

В треугольнике \( ADC \) медианы пересекаются в точке \( M \). Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка \( M \) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Далее на прямой \( CD \) выбрана точка \( K \), и по условию прямые \( BM \) и \( KN \) перпендикулярны. Чтобы найти длину отрезка \( CK \), обозначим вектор \( \overrightarrow{CK} = x \overrightarrow{CD} \), где \( x \) — некоторое число. Вектор \( \overrightarrow{NK} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{NC} \) и \( \overrightarrow{CK} \), то есть \( \overrightarrow{NK} = \overrightarrow{NC} + x \overrightarrow{CD} \).

Перпендикулярность прямых \( BM \) и \( KN \) означает, что скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{NK} \) равно нулю: \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{NK} = 0 \). Используя известные длины и углы, а также выражения для векторов \( \overrightarrow{BM} \), \( \overrightarrow{NC} \) и \( \overrightarrow{CD} \), составляем уравнение и находим значение \( x \). Решение показывает, что \( x = 1 \), следовательно, длина отрезка \( CK = x \cdot CD = 1 \cdot 8 = 8 \) см. Таким образом, искомый отрезок равен 8 см.