ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) является параллелограмм \( ABCD \). Известно, что \( \angle DAB = 60^\circ \), а рёбра \( AB, AD \) и \( AA_1 \) соответственно относятся как 1 : 4 : 2. Точка \( O \) — центр грани \( CC_1B_1B \). На прямой \( AD \) отметили точку \( M \) так, что прямые \( DM \) и \( CM \) перпендикулярны. Найдите отношение \( A_1M : MD_1 \).

Пусть \(AB = 1\), тогда \(AD = 4\), \(AA_1 = 2\).

Точка \(M\) на \(AD\), значит \(AM = x\), \(MD = 4 — x\).

Условие перпендикулярности \(DM \perp CM\) даёт уравнение: \( \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \).

Векторы: \( \overrightarrow{DM} = (4 — x)\overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DM} \).

Решая уравнение, получаем \(x = \frac{8}{3}\).

Длина \(A_1M = \sqrt{AA_1^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{13}}{3}\).

Длина \(MD_1 = \sqrt{MD^2 + AA_1^2} = \sqrt{\left(4 — \frac{8}{3}\right)^2 + 2^2} = \frac{2\sqrt{13}}{6}\).

Отношение \(A_1M : MD_1 = \frac{2\sqrt{13}}{3} : \frac{2\sqrt{13}}{6} = 2 : 1\).

Пусть \(AB = 1\), тогда по условию параллелограмма \(AD = 4\), а высота \(AA_1 = 2\). Рассмотрим точку \(M\) на отрезке \(AD\), для которой \(DM \perp CM\). Обозначим \(AM = x\), тогда \(MD = 4 — x\).

Вектор \( \overrightarrow{AD} \) направлен вдоль стороны \(AD\), а вектор \( \overrightarrow{AB} \) образует с ним угол \(60^\circ\). Вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен вектору \( \overrightarrow{AB} \), так как \(ABCD\) — параллелограмм. Вектор \( \overrightarrow{CM} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{DM} \). Тогда условие перпендикулярности \( \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \) даёт уравнение, которое можно решить относительно \(x\).

Подставляя в уравнение координаты и учитывая длины сторон, получаем уравнение \( (4 — x) \cdot (x + 2(4 — x) \cos 60^\circ) = 0 \). Решая его, находим \(x = \frac{8}{3}\). Это значит, что точка \(M\) делит отрезок \(AD\) в отношении \( \frac{8}{3} : \frac{4}{3} = 8 : 4 = 2 : 1\).

Далее найдём длины отрезков \(A_1M\) и \(MD_1\). Так как \(AA_1\) — высота, \(A_1\) лежит на плоскости основания, и \(A_1M\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(AA_1 = 2\) и \(AM = \frac{8}{3}\). Значит \(A_1M = \sqrt{2^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{13}}{3}\). Аналогично \(MD_1 = \sqrt{\left(4 — \frac{8}{3}\right)^2 + 2^2} = \frac{2\sqrt{13}}{6}\).

Отношение длин \(A_1M : MD_1 = \frac{2\sqrt{13}}{3} : \frac{2\sqrt{13}}{6} = 2 : 1\). Таким образом, точка \(M\) делит высоту и сторону основания так, что отношение отрезков \(A_1M\) и \(MD_1\) равно 2 к 1.