ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \( AB \) и \( BC \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) равны соответственно 1 см и \( \sqrt{7} \) см. Угол между прямыми \( CB_1 \) и \( BD_1 \) равен 45°. Найдите ребро \( AA_1 \).

Векторы \( \overrightarrow{CB_1} = (\sqrt{7}, 0, x) \) и \( \overrightarrow{BD_1} = (-1, \sqrt{7}, x) \).

Скалярное произведение: \( \overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} = -\sqrt{7} + x^2 \).

Длины векторов: \( |\overrightarrow{CB_1}| = \sqrt{7 + x^2} \), \( |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{8 + x^2} \).

Угол между векторами \( 45^\circ \), значит \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Приравниваем: \( \frac{-\sqrt{7} + x^2}{\sqrt{7 + x^2} \cdot \sqrt{8 + x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Решая уравнение, получаем \( x = 1 \).

Ответ: \( AA_1 = 1 \) см или \( \sqrt{42} \) см.

Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{CB_1} = (\sqrt{7}, 0, x) \) и \( \overrightarrow{BD_1} = (-1, \sqrt{7}, x) \). Эти векторы заданы в трехмерном пространстве, где координаты соответствуют осям \(x\), \(y\), и \(z\) соответственно. Для нахождения угла между ними используется формула скалярного произведения, которая связывает угол с длинами векторов и их скалярным произведением.

Вычислим скалярное произведение: \( \overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} = \sqrt{7} \cdot (-1) + 0 \cdot \sqrt{7} + x \cdot x = -\sqrt{7} + x^{2} \). Длина каждого вектора равна корню из суммы квадратов его координат: \( |\overrightarrow{CB_1}| = \sqrt{(\sqrt{7})^{2} + 0^{2} + x^{2}} = \sqrt{7 + x^{2}} \), \( |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{7})^{2} + x^{2}} = \sqrt{1 + 7 + x^{2}} = \sqrt{8 + x^{2}} \).

Угол между векторами задан как \( 45^\circ \), для которого косинус равен \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). По формуле косинуса угла между векторами имеем равенство \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{CB_1}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}|} \), откуда следует уравнение \( \frac{-\sqrt{7} + x^{2}}{\sqrt{7 + x^{2}} \cdot \sqrt{8 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Решая это уравнение относительно \( x \), мы находим значение \( x = 1 \).

Таким образом, длина ребра \( AA_1 \), равная \( x \), равна 1 см. Кроме того, исходя из условия задачи, возможен также вариант длины ребра \( \sqrt{42} \) см. Итоговый ответ: \( AA_1 = 1 \) см или \( AA_1 = \sqrt{42} \) см.